Матрица плотности кубита до квантового измерения и после

[xprwt]

Всем добрый день

У меня вопрос следующий

Имеется кубит находящийся (до осуществления квантового измерения) в суперпозиции состояний $0$ и $1$

$\left| \psi \right\rangle = \left| {{0_1}} \right\rangle + \left| {{1_1}} \right\rangle $

Для простоты я полагаю коэффициенты $a$ и $b$ равными между собой и равными единице

Тогда (в моём понимании) матрица плотности для этого кубита соответственно равна:

$\rho = \left| {{0_1}} \right\rangle \otimes \left\langle {{0_1}} \right| + \left| {{0_1}} \right\rangle \otimes \left\langle {{1_1}} \right| + \left| {{1_1}} \right\rangle \otimes \left\langle {{0_1}} \right| + \left| {{1_1}} \right\rangle \otimes \left\langle {{1_1}} \right|$

$\rho = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \end{array}} \end{array}} \right)$

Однако, когда я выполняю в "Wolfram Mathematica" приведенную по ссылке команду QuantumDensityOperator[QubitMeasurement[$\left| {{0_1}} \right\rangle + \left| {{1_1}} \right\rangle ,\left\{ {\hat 1} \right\}$]] , то вычисленная программой матрица плотности (после осуществления квантового измерения) имеет вид: $\rho = \frac{1}{2}\left| {{0_1}} \right\rangle \otimes \left\langle {{0_1}} \right| + \frac{1}{2}\left| {{1_1}} \right\rangle \otimes \left\langle {{1_1}} \right|$

$\rho = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}} \\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\frac{1}{2}} \end{array}} \end{array}} \right)$

Мой вопрос: о чём это говорит ? - О том что матрица плотности кубита до акта квантового измерения отличается от матрицы плотности этого кубита после измерения ? Или я что-то не так делаю и чего-то не понимаю ?

[Munin]

xprwt в сообщении #893328 писал(а):

Мой вопрос: о чём это говорит ? - О том что матрица плотности кубита до акта квантового измерения отличается от матрицы плотности этого кубита после измерения ?

Да. Именно об этом.

xprwt в сообщении #893328 писал(а):

Или я что-то не так делаю и чего-то не понимаю ?

Думаю, вы не понимаете разницы между понятиями суперпозиции и смеси. Первая матрица плотности соответствует суперпозиции (до измерения), вторая - смеси (после измерения). Так что никаких чудес.

[xprwt]

Для кубита $\left| \psi \right\rangle = \left| {{0_1}} \right\rangle + \left| {{1_1}} \right\rangle $

матрица плотности :

$\rho = \left| {{0_1}} \right\rangle \otimes \left\langle {{0_1}} \right| + \left| {{0_1}} \right\rangle \otimes \left\langle {{1_1}} \right| + \left| {{1_1}} \right\rangle \otimes \left\langle {{0_1}} \right| + \left| {{1_1}} \right\rangle \otimes \left\langle {{1_1}} \right|$

$\rho = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \end{array}} \end{array}} \right)$

Но дело в том что для чистого состояния по определению (в частности - монографии Прескилла и Нильсена с Чангом) квадрат матрицы плотности равен самой матрице плотности, а след квадрата матрицы плотности равен 1. Если же я умножу матрицу плотности этого кубита саму на себя (не тензорно по Кроннекеру, а - обычное произведение матриц) то получится матрица все элементы которой равны 2 и указанным условиям она не удовлетворяет. Что я здесь намудрил не так ?

[Munin]

xprwt в сообщении #893423 писал(а):

Что я здесь намудрил не так ?

Забыли про нормировку.

На самом деле, ваш кубит, чтобы удовлетворять условию нормировки, должен быть $|\psi\rangle=\tfrac{1}{\!\sqrt{2\,}\,\,}|0_1\rangle+\tfrac{1}{\!\sqrt{2\,}\,\,}|1_1\rangle.$ Соответственно, матрица плотности будет
$\rho=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.$
Возведите её в квадрат, и проверьте след.