Предел последовательности.

[Kornelij]

${{a}_{1}}=1; {{a}_{2}}=2; {a_{2k+1}}=\frac{1}{2k}\sum\limits_{i=1}^{2k}{{{a}_{i}}}; {{a}_{2k}}=\sqrt[2k-1]{\prod\limits_{i=1}^{2k-1}{{{a}_{i}}}}$. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}-?$ Похоже, что последовательность состоит из двух подпоследовательностей (с четными и нечетными номерами), одна из которых монотонно возрастает, а вторая монотонно убывает, но вот общий ли у них предел и какой?

[Slow]

Для начала наверное нужно обосновать сходимость этих двух последовательностей. Попробуйте и посмотрите на каждый член каждой последовательности по отдельности, ничего не напоминает?

[Kornelij]

Нет, ничего не напоминает. Вот первая подпоследовательность: 1, 1.5, 1.485562392577, 1.479770312409, 1.476663042031.... А что это может напоминать?

[Slow]

Ну я имел ввиду среднее арифметическое и среднее геометрическое. Далее нужно воспользоваться неким неравенством между ними.

[Kornelij]

Slow в сообщении #893311 писал(а):

Ну я имел ввиду среднее арифметическое и среднее геометрическое. Далее нужно воспользоваться неким неравенством между ними.

Каким неравенством? Здесь же каждый раз эти средние берутся от разных наборов значений.

[ИСН]

Острая задача. Как-то не очевидно даже, что обе подпоследовательности монотонны; более того, на начальном этапе это тупо неверно.
Надо заходить с другой стороны. Допустим, пределы разные: a и b. Тогда для достаточно больших номеров (эти слова надо развернуть и ещё раз развернуть) чётный член будет достаточно близок к $\sqrt{ab}$, нечётный - к $a+b\over2$, а оба они - недопустимо близко друг к другу (ближе, чем следует из допущения).

[Kornelij]

ИСН в сообщении #893743 писал(а):

Как-то не очевидно даже, что обе подпоследовательности монотонны; более того, на начальном этапе это тупо неверно.

Да, на начальном неверно, но значение предела не зависит от значений конечного числа членов последовательности.

ИСН в сообщении #893743 писал(а):

Допустим, пределы разные: a и b. Тогда для достаточно больших номеров чётный член будет достаточно близок к $\sqrt{ab}$, нечётный - к $a+b\over2$, а оба они - недопустимо близко друг к другу (ближе, чем следует из допущения).

Не очень понятно, чо значит "недопустимо близко" и что следует из сказанного. Ведь вполне может $a = b$ и тогда $\sqrt{ab} = {{a+b}\over2}$.

[TOTAL]

Kornelij в сообщении #893877 писал(а):

Ведь вполне может $a = b$ и тогда $\sqrt{ab} = {{a+b}\over2}$.

Если допустить, что пределы разные, то вполне может быть, что они одинаковые. Это как?

[Kornelij]

Это к тому, что не понятно, разные они или нет. Если разные, то как это доказать, а если одинаковые, то как найти?

[ИСН]

Предположим, что они разные. Разные такие разные, ну, знаете, когда между ними разница аж в 0.1, ну или меньше, но в общем, какая-то там разница. Дальше прочитайте мой предыдущий пост. "Недопустимо близко" - значит, грубо говоря, что ближе, чем $|a-b|$.
Теперь по второй части. Если одинаковые, то как найти. Здесь ответ простой. Приближённо - найти первый, второй, стопятисотый и так далее. А "точно" - никак.

[Kornelij]

ИСН в сообщении #894085 писал(а):

А "точно" - никак.

Гм... но должно же быть решение...

[ИСН]

Откуда инфа?

[TOTAL]

Kornelij в сообщении #894081 писал(а):

не понятно, разные они или нет

Так как

$$a_{2k+1}=\frac{1}{2k}a_{2k}+\frac{2k-1}{2k}a_{2k-1},$$

$$a_{2k+2}=a_{2k+1}^{\frac{1}{2k+1}} \cdot a_{2k}^{\frac{2k}{2k+1}},$$

то следующий член лежит между двумя предыдущими (начиная с пятого), члены с четными номерами возрастают, с нечетными убывают, соответствующие подпоследовательности сходятся.

Так как

$$a_{2k+1}=a_{2k-1}-\frac{1}{2k}(a_{2k-1}-a_{2k}),$$

то предел у подпоследовательностей одинаков (сумма гармонического ряда бесконечна)

[Kornelij]

TOTAL, что-то я ни первое "то", ни второе "то" не понял.