Инфинитезимальные преобразования - определение

[_Er]

В теории поля часто встречаю понятие "инфинитезимальных преобразований" и его некоторые примеры, типа трансляций, вращений и т.п., но нигде не могу найти нормального определения, что это за преобразования такие. Есть предположение, что "инфинитезимальность" значит, что преобразования происходят на очень малую величину. Но оно не подтверждено. Кто в теме, подскажите, пожалуйста, как определяются эти преобразования.

Например, говорится, что происходят преобразования скалярных полей $\Phi_a \to \Phi_a^{(\varepsilon)}$, где $\varepsilon$ – инфинитезимальный параметр преобразования (что это за параметр?). Можно как-то ли такое преобразование записать в явном виде?

[Neos]

Посмотрите по темам "Теорема Нетер" и "Групповой анализ дифференциальных уравнений".

[Munin]

_Er в сообщении #892778 писал(а):

сть предположение, что "инфинитезимальность" значит, что преобразования происходят на очень малую величину. Но оно не подтверждено.

Да, правильно.

Более точно, представим себе $f\colon[0,1]\to T,$ где $T$ - множество преобразований, и $f(0)=1.$ Дальше на $f(t)$ накладывается условие непрерывности, дифференцируемости в нуле (для этого и сами преобразования должны образовывать достаточно гладкое пространство), и $df|_0$ можно считать таким инфинитезимальным преобразованием.

-- 02.08.2014 20:15:37 --

Инфинитезимальные преобразования широко встречаются и используются в Ландафшице, например, ЛЛ-1 глава 2, ЛЛ-3 параграфы "Импульс", "Момент импульса". Там рассматриваются преобразования, описываемые конечным числом параметров, например, сдвиг системы координат на постоянный вектор - три параметра. В калибровочной теории больше используются преобразования, зависящие от бесконечного числа параметров - задаваемые, например, функцией от $x,y,z,t.$ Примеры таких преобразований есть в ЛЛ-2 в части про гравитационное поле, в ЛЛ-3 в части про магнитное поле.

-- 02.08.2014 20:21:20 --

Но такое преобразование можно разложить по какому-то базису, например, в ряд / интеграл Фурье, и рассматривать добавление любой компоненты по отдельности. Этому соответствует выбор одной линии $f(t)$ в пространстве $T$ в формулировке выше.

[_Er]

Munin, при преобразовании $\Phi_a \to \Phi_a^{(\varepsilon)}$ можно ли $\Phi_a^{(\varepsilon)}$ как-нибудь записать в явном виде, т.е. выразить через $\Phi_a, \varepsilon$ и еще что-нибудь? Или общей формулы для произвольного инфинитезимального преобразования нет и $\Phi_a^{(\varepsilon)}$ может быть каким угодно?

[Oleg Zubelevich]

"инфинитезимальный" это некоторый архаичный (но весьма распространенный и теперь) термин, стандартизованного определения нет, смотреть надо контекст, в любом приличном тексте, в котором этот термин используется, должны быть соответствующие разъяснения

[Munin]

_Er в сообщении #892796 писал(а):

Munin, при преобразовании $\Phi_a \to \Phi_a^{(\varepsilon)}$ можно ли $\Phi_a^{(\varepsilon)}$ как-нибудь записать в явном виде, т.е. выразить через $\Phi_a, \varepsilon$ и еще что-нибудь?

Можно, например, записать $\Phi_a^{(\varepsilon)}=\Phi_a+\varepsilon\,\Psi_a,$ где $\Psi_a$ - не малая, конечная функция.

_Er в сообщении #892796 писал(а):

Или общей формулы для произвольного инфинитезимального преобразования нет и $\Phi_a^{(\varepsilon)}$ может быть каким угодно?

Обычно уточняют, какое именно инфинитезимальное преобразование. Если калибровочное - то, например, пишут

$$\begin{aligned}&\varphi^{(\varepsilon)}(x)=e^{i\varepsilon a(x)}\varphi(x)\\&A_\mu^{(\varepsilon)}(x)=A_\mu(x)+g\varepsilon\,\partial_\mu a(x)\end{aligned}$$

(сравните с Рубаков (2.30)). Здесь $a(x)$ - произвольная функция, а $\varepsilon\to 0,$ но видно, что сами $\varphi^{(\varepsilon)}(x),A_\mu^{(\varepsilon)}(x)$ - не произвольные функции.

Oleg Zubelevich в сообщении #892799 писал(а):

"инфинитезимальный" это некоторый архаичный (но весьма распространенный и теперь) термин

Может, где-то и архаичный, а в физике нормальный. Хотя "бесконечно малый" более понятно звучит.

Oleg Zubelevich в сообщении #892799 писал(а):

в любом приличном тексте, в котором этот термин используется, должны быть соответствующие разъяснения

"В любом приличном математическом"...