2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Система дифференциальный уравнений
Сообщение31.07.2014, 00:57 
Аватара пользователя
Есть система вида:
$$\left(\begin{array}{c}\dot{x}\\\dot{y}\\\dot{z}\end{array}\right)=\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}e^{i\omega t}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}x_0\\y_0\\z_0\end{array}\right)$$, где $A,B$ - матрицы размера $3\times 3$, $x,y,z$ - искомые функции от аргемента $t$.
Имеет ли эта система аналитические решения? Если да, в каком виде их искать. Спасибо.

 
 
 
 Re: Система дифференциальный уравнений
Сообщение31.07.2014, 10:32 
Аватара пользователя
Уже в одномерном случае в такой штуке появляются функции Матьё, т.е. всё сложно.

-- менее минуты назад --

Upd. Не совсем правильно сказал. Они появляются в одномерном случае со вторыми производными. Ну так ведь это то же самое, что двумерный случай с первыми производными. А тут всё равно трёх, то есть ещё хуже.

 
 
 
 Re: Система дифференциальный уравнений
Сообщение31.07.2014, 12:41 
Если $[A,A]=[A,B]=[B,B]=0$, то применима теорема Лаппо-Данилевского.

Upd. Непонятно, зачем написал $[A,A]=[B,B]=0$. :)

 
 
 
 Re: Система дифференциальный уравнений
Сообщение31.07.2014, 13:26 
Аватара пользователя
V.V. в сообщении #892046 писал(а):
Если $[A,A]=[A,B]=[B,B]=0$, то применима теорема Лаппо-Данилевского. Но, конечно же, такие жесткие условия выполняются очень редко.

Прошу прощения, что означает обозначение $[A,A]$?

 
 
 
 Re: Система дифференциальный уравнений
Сообщение31.07.2014, 14:37 
система интегрируется в квадратурах если $AB=BA$

-- Чт июл 31, 2014 14:41:08 --

подстановка:
$$\dot x=(A+e^{i\omega t}B)x,\quad x=e^{At}y,\quad \tau=e^{i\omega t}$$

 
 
 
 Re: Система дифференциальный уравнений
Сообщение31.07.2014, 16:03 
Rubik в сообщении #892054 писал(а):
Прошу прощения, что означает обозначение $[A,A]$?


Коммутатор.
$[X,Y]=XY-YX$.
Понятно, что $[A,A]=0$.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group