Дабы успешно решать задачи сии, надобно всенепременнейше уяснить себе суть тончайших связей промежду линейной независимостью и скалярным произведением.
Нафиг-нафиг.
Линейная независимость есть и без скалярного произведения. И разложение по базису - тоже без. Надо понять суть этих действий.
А скалярное произведение - это способ посчитать "быстро и на коленке", причём для физиков, не смотрящих вдаль, и не задумывающихся, что через пару семестров у них бац! - и отнимут скалярное произведение, и придётся учиться считать заново.
Пусть
Спроектирую точку
на
и
и получу
и
соответственно.
Правильно?
Неправильно. Или расшифровывайте слово "спроектирую"
(нюанс)
В смысле "проекции" говорят "проецировать", хотя другие однокоренные слова могут содержать "к", например, оператор проекции - "проектор". А если вы говорите "проектировать", то сразу подразумевается, что речь о каком-то "проекте", и вас высмеют.
или, если считать, что это слово понимается в стандартном смысле, то вы ошиблись. Чертёж рис. 2 не изображает проекции. Угол между
и
не прямой.
, векторы 
и 
выбраны в качестве базисных. Найти координаты векторов 
в этом базисе.
, откуда координаты этого вектора 
. А дальше как?
Как вы будете в такой ситуации раскладывать 
по базису 
?
![$\[{{\vec a}_1}({a_{11}},...,{a_{1n}}),...,{{\vec a}_n}({a_{n1}},...,{a_{nn}})\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/c/99cd505adbdaa0695011395d1989962a82.png "$\[{{\vec a}_1}({a_{11}},...,{a_{1n}}),...,{{\vec a}_n}({a_{n1}},...,{a_{nn}})\]$")
составляющие базис. Если вам нужно найти координаты вектора ![$\[\vec b = ({b_1},...,{b_n})\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/3/b33ce85efc48a8e07fba05c64040edd782.png "$\[\vec b = ({b_1},...,{b_n})\]$")
в этом базисе, вспомните, что система векторов ![$\[{{\vec a}_1}...{{\vec a}_n}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/e/eae7027cf694e1b5b4cf60bdf54fa7cf82.png "$\[{{\vec a}_1}...{{\vec a}_n}\]$")
и ![$\[{\vec b}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/3/093ccdcb2ba4a30df3fe0ca51fa9c4bc82.png "$\[{\vec b}\]$")
ЛЗ, значит ![$\[\vec b = {B_1}{{\vec a}_1} + ... + {B_n}{{\vec a}_n}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/b/06bd9c9327902118fcb1792ec012555a82.png "$\[\vec b = {B_1}{{\vec a}_1} + ... + {B_n}{{\vec a}_n}\]$")
, отсюда ![$\[\left\{ \begin{array}{l}
{B_1}{a_{11}} + ... + {B_n}{a_{n1}} = {b_1}\\
...\\
{B_1}{a_{1n}} + ... + {B_n}{a_{nn}} = {b_n}
\end{array} \right.\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/3/3a3b72409c5f640302fa81d9176914ac82.png "$\[\left\{ \begin{array}{l}
{B_1}{a_{11}} + ... + {B_n}{a_{n1}} = {b_1}\\
...\\
{B_1}{a_{1n}} + ... + {B_n}{a_{nn}} = {b_n}
\end{array} \right.\]$")
![$\[\{ {B_1},...,{B_n}\} \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/c/82c13c2a96f168a463f0f989a6e158c882.png "$\[\{ {B_1},...,{B_n}\} \]$")
и есть координаты вектора 
и 
компланарны. ... Пусть 
и 
не коллинеарны. Разложим 