поиск множества отображения функции

[tlakopan]

Изучаю математику самостоятельно. Цикл учебников МГТУ, том 1, Морозова В.Д. "Введение в анализ", 2 раздел. Вот есть задача:
Найти множество (пусть будет $G$), на которое отображает множество $X$ каждая из функций:
$f \left(x \right) = x^{2}, X= \left[ -1, 2\right]$
...
Для каждой функции найти график отображения и построить его.
Вопросы: Значит я наглядно вижу что решение есть $G = \left[ 0, 4 \right]$, или $G = \left\lbrace y \in \mathbb{R} : 0 \leqslant y \leqslant 4 \right\rbrace$. Но одно дело видеть, а совсем другое доказать. Как решаются такие задачи? Как строить графики, имея только начальные знания теории множеств?

[demolishka]

Чтобы уметь строить графики нужно знать различные свойства функций (непрерывность, выпуклость, монотонность, периодичность, дифференцируемость и т.д) и их влияние на график.
Как выглядит парабола вроде все знают еще со школы. Так что даже если в учебнике эта задача находится до изучения соответствующих свойств, то это не повлияет на решение на интуитивном уровне. Скорей всего это просто упражнение на понятие "Отображения" и "График отображения".

[tlakopan]

Вот как я это вижу. Правильно?
$x \in \left[ -1, 0\right] \cup x \in \left(0, 2 \right] \Rightarrow x^{2} \in \left[0, 1 \right] \cup x^{2} \in \left(0, 4 \right] \Rightarrow 0 \leqslant x^{2}\leqslant 4 \Rightarrow $
$G = \lbrace y \in \mathbb{R} : 0 \leqslant y \leqslant 4 \rbrace$

-- 27.07.2014, 16:48 --

demolishka в сообщении #890615 писал(а):

Как выглядит парабола вроде все знают еще со школы.

Скажем так, школа прошла уже давно, а кроме этой функции в задании есть еще и другие.

[demolishka]

Интуитивно или нет, но в своих рассуждениях вы использовали свойства монотонности и непрерывности функции $f(x)=x^2$. Рассуждения верные, но хорошо если бы вы понимали, что стоит за каждой выкладкой.

[tlakopan]

Ok, другая функция:

$$f \left( x\right) = \frac{x}{2x-1}, X = \lbrace x \in \mathbb{R} : 0 \leqslant x < 1 \rbrace $$

Начинаем исследование функции:
1. Область определения функции $X \setminus \lbrace \frac{1}{2} \rbrace$ поскольку в точке $\frac{1}{2}$ знаменатель обращается в ноль. Таким образом $X = \lbrace x \in \mathbb{R} : 0 \leqslant x < \frac{1}{2} \vee \frac{1}{2} x < 1 \rbrace$
2. Непрерывность функции исследуем с помощью пределов:
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} f \left( x \right)= 0$
$\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2} - 0} f \left( x \right)= -\infty$
$\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2} + 0} f \left( x \right)= \infty$
$\lim\limits_{x \rightarrow 1 - 0} f \left( x \right)= 1$
Из определения непрерывности функции делаем вывод что функция прерывается в точке $x = \frac{1}{2}$
3. Функция не является ни четной, ни нечетной поскольку
$f\left( x\right) \neq f\left( -x\right)$
$f\left( x\right) \neq -f\left(x\right)$
4. Асимптоты. В п. 2 Мы выявили вертикальную асимптоту в точке $x = \frac{1}{2}$.
Наклонная асимптота:
$k = \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f \left( x \right)}{x}= 0$
$b = \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f \left( x \right) - 0 \cdot x \right) = \frac{1}{2}$
прямая $y = kx + b = \frac{1}{2}$ является наклонной асимптотой.

Таким образом область значений функции $f$ на промежутке $\left[0, 1 \right)$ есть множество точек $G = \lbrace y \in \mathbb{R} : - \infty \leqslant y < \frac{1}{2} \vee \frac{1}{2} < y \leqslant \infty \rbrace$


Верно решено? Замечания, ошибки.

[kp9r4d]

Цитата:

$G = \lbrace y \in \mathbb{R} : - \infty \leqslant y < \frac{1}{2} \vee \frac{1}{2} < y \leqslant \infty \rbrace$

Всё-таки $<\infty$ и $-\infty<$.
А так вроде как всё нормально.

-- 28.07.2014, 23:32 --

И всё-таки да, наверное если говорить строго, то разрыв функция может терпеть лишь в точке, в которой определена.

[tlakopan]

Хм, понятно. Спасибо.