Помогите с решением диффуравнений (институт)

[ФАН]

Мой студент (сын) не может никак победить четыре диффуравнения, заданные в ВУЗе... Вернее сказать, ответы получаются, на его взгляд, нереальные - в виде сумасшедших интегралов. Может в заданиях опечатка, а может мозги надо немного править, но он давал эти примеры прорешать своему продвинутому однокурснику, у которого твёрдая пятёрка по этому предмету и результат был тотже. Обращаюсь к Вам за помощью, светлые головы, т.к. моя уже заржавела - 20 лет назад математика в ВУЗе была моим любимым предметом... Вот эти спорные примеры:
1) xy" – y' = x(lnx – 1) Y|x=1 =1 Y'|x=1 =1
2) 2y – y" = 1+ (y')²
3) y" + 4 y' + 5y = e־²ⁿ (1 + sec²n)
4) y" - 12 y' + 36y = 18x³ + 1 Y|x=1 = 1/12 Y'|x=1 = -3/4

Т.к. писал здесь я, отец парня, просьба поправить , если что некорректно написано.

[Brukvalub]

ФАН писал(а):

Мой студент (сын) не может никак победить четыре диффуравнения, заданные в ВУЗе... Вернее сказать, ответы получаются, на его взгляд, нереальные - в виде сумасшедших интегралов. Может в заданиях опечатка, а может мозги надо немного править

Лучше пусть Ваш сын приведёт здесь свои попытки решения этих диф. уравнений, тогда и станет ясно, где и что нужно поправить.

[ФАН]

Он сейчас в Калуге и хотел бы до его приезда решить этот вопрос... Но если так нельзя, то только к четвергу-пятнице я смогу продолжить.

[Brukvalub]

Хорошо, вот обзор этих задач: в №1 после переобозначения

\[z = y'\]

и деления всех членов уравнения на х, уравнение становится линейным уравнением первого порядка, в №2 применим стандартный способ понижения порядка, а две последних задачи являются обычными упражнениями на линейные неоднородные д.у. второго порядка с пост. коэффициентами. То есть задачи являются стандартными, и не должны вызывать проблем. Именно поэтому и хочется найти причину затруднений Вашего сына, взглянув на его решения.

[ФАН]

Хорошо, подождём сына.

[ФАН]

В общем, парень посмотрел на данные выше рекомендации, пошарил по учебникам и решил, что сам разберётся что к чему. Сейчас он в поиске своих ошибок и как у него чтонить наметится, я сразуже отпишусь сюда - можно?

[yupa]

А я бы первое так решил...

$$ xy''-y'=x(\ln x-1),\ x\ge1, $$

$$ \biggl(\frac{y'}{x}\biggr)'=\frac{\ln x-1}{x}, $$

$$ y'=x\frac{\ln^2 x}{2}-x\ln x+x, $$

$$ y=\int\limits_{1}^{x}s\ln s\biggl(\frac{\ln s}{2}-1\biggr)ds+\frac{x^2+1}{2}. $$

[нг]

Позвольте напомнить: это раздел форума «Помогите решить». Здесь учат решать задачи, или помогают разобраться. По опыту, публикация решений — далеко не лучший способ помощи.

[yupa]

нг писал(а):

Позвольте напомнить: это раздел форума «Помогите решить». Здесь учат решать задачи, или помогают разобраться. По опыту, публикация решений — далеко не лучший способ помощи.

В чем заключается помощь в решении конкректного дифура в вашем понимании поясните? Мне было нужно словествно оформить содержание вставками типа "сделаем замену" или "тогда получаем"? Простите, но излагать в топике все стандартные приемы решения типовых задач из учебника и потом глубокомысленно предлагать их применить к конкретной задаче это тупость (ИМХО), ибо большинство задачников их (методы решения) как раз содерат в качестве "предбанников" к разделам задач. На мой взгляд гораздо целесообразние не прививать студентам приверженность к штампам, а именно показать что любая задачка по замыслу авторов должна инициировать в них творческий процес, и тогда она разрешиться легко и элегантно. Тем более это применимо к конкретному случаю -- человек же написал что задачи им решены. Вероятно его квалификации достаточно для того, чтобы не выслушивать советы вроде "му-хрю, это стандартные дифуры берите и решайте". Ему скорее требуется расширить кругозор относительно не методов решения, а подхода к задаче. Ну вот собственно я и предложил прежде чем приступать к решению -- внимательно взглянуть на уравнение -- а вдруг оно какое то... с изюминкой?

Приглашаю вас поучавствовать в творчеком процессе например с решением второго уравнения .

[mod="нг"]off-topic и обсуждение действий модератора[/mod]

[Nord]

yupa писал(а):

А я бы первое так решил...

Вообще-то, ответ выражается в элементарных функциях.

[yupa]

Nord писал(а):

yupa писал(а):

А я бы первое так решил...

Вообще-то, ответ выражается в элементарных функциях.

Я не умею интегрировать по частям... Наверное это судьба.

[Andrey_SR]

yupa писал(а):

Nord писал(а):

yupa писал(а):

А я бы первое так решил...

Вообще-то, ответ выражается в элементарных функциях.

Я не умею интегрировать по частям... Наверное это судьба.

Это основа основ, по моему без него никак не обойтись.

[ФАН]

xy" – y' = x(lnx – 1)
решение
y"-(1/x)y'=lnx – 1
y'=z y"=z'
z'-(1/x)z=lnx – 1 ЛНДУ 1п
z=uv z'=u'v+uv'
u'v+uv'-(1/x)uv=lnx – 1
u'-(1/x)u=0
u'=(1/x)u
du/dx=u/x
разделяя переменные и проинтегрировав получим U=X
xv'=lnx – 1
v'=lnx/x-1/x
dv=(lnx/x)dx-(1/x)dx
v=∫lnxd(lnx)-lnx
v=(1/2)ln²x-lnx+c1
z=(1/2)xln²x-xlnx+xc1
y'=(1/2)xln²x-xlnx+xc1 ДУ 1п с раздел.перем.
до этого момента вроде правильно но как искать интеграллы lnx?



2yy" = 1+ (y')²
это у-е было напечатано с ошибкой:минус не нужен!!!
решение
это у-е позволяет понизитьпорядок:
y'=p y"=pp'
2ypp'=1+p²
2y(dp/dy)=(1+pc)/p
(p(dp))/(1+p²)=dy/2y
∫(p/(1+p²))dp=0.5 ∫(1/y)dy+c
p²+1=cy
p²=cy-1
что делать дальше?надо ли брать два корня(p=+-(cy-1)^0.5) или берется только с плюсом?и нормально ли,что y' будет равно корню из (cy-1)?
ЗАРАНЕЕ СПАСИБО.

[PAV]

[mod="PAV"]Тема перемещается в Карантин за неиспользование math

Исправьте свое последнее сообщение. Когда сделаете, напишите мне или любому модератору и тема будет возвращена обратно.[/mod]