ОМП для распределения Вейбулла

[ecartman]

Здравствуйте, пусть имеется распределение Вейбулла с двумя параметрами, заданное плотностью:

$$ f_X(x;\alpha,\beta) = \frac{\beta}{\alpha}\left(\frac{x}{\alpha}\right)^{\beta-1} \exp\left\{-\left(\frac{x}{\alpha}\right)^\beta\right\}, $$

где $x\ge0$.

Можно показать, что оценка макс. правдоподобия $\hat{\alpha}_n,\hat{\beta}_n$ для параметров удовлетворяет системе уравнений:

$$ -\frac{n}{\alpha}-(\beta-1)\frac{n}{\alpha}+\beta{\alpha}^{-\beta-1}\sum_{j=1}^n X_j^{\beta}=0; $$

$$ \frac{n}{\beta}-n\log\alpha+\sum_{j=1}^n\log X_j+{\alpha}^{-\beta}\log\alpha\sum_{j=1}^n X_j^{\beta}-{\alpha}^{-\beta}\sum_{j=1}^n X_j^{\beta}\log X_j =0. $$

здесь $n$ - размер выборки.

Верно ли что мат. ожидание величины $\hat{\alpha}_n^{\hat{\beta}_n}$ конечно?
Собственно исходя из вышеупомянутых уравнений видно что задача фактически сводится к тому, что нужно показать конечность ожидания $X_i^{\hat{\beta}_n}$. Сам не соображу, как это показать (или опровергнуть). Буду признателен любой помощи.