Область сходимости ряда

[andlavrov00]

Здравствуйте! Дан ряд
\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ x^{3n} }{ 8^{n} }

Я нашел область сходимости ряда $-2<x<2$
Как я думаю, на этом решение заканчивается, т.к. на концах интервала не удасться найти сходимость ряда? Или же все-таки есть способы определения сходимости на границах интервала в данном ряде?

[Otta]

Чегой-то не удастся. Подставляйте и смотрите.

[andlavrov00]

Если подставить интервалы, получается так.
При $x=-2$ \sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{ x^{3n} }{ 8^n }=\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{ (2^3)^n*(-1)^n }{ 8^n }=\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{ 8^{n}*(-1)^n }{ 8^n }=\sum\limits_{n=1}^{\infty }(-1)^n

При $x=2$ \sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{ x^{3n} }{ 8^n }=\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{ (2^3)^n}{ 8^n }=\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{ 8^{n}}{ 8^n }=1

Я так понимаю на этом все и заканчивается. Или что-то еще будет тут?

[ex-math]

Еще надо вывод сделать насчет сходимости в этих точках.

[alcoholist]

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{ x^{3n} }{ 8^n }=\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{ (2^3)^n}{ 8^n }=\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{ 8^{n}}{ 8^n }=\sum_{n=1}^{\infty}1$$