Расширение поля Галуа

[stiv]

Не могу разобраться с построением расширения 4 степени поля GF(2)
Выбираем основной многочлен, неприводимый в GF(2), по которому построим идеал: пусть это будет $P(x)=x^4+x+1$
Элементы поля будут иметь вид $[r(x)]=[f\in GF(p)|f(x)= r(x)+Q(x)P(x), Q \in GF(p)[x]]$
Я так понял: Q пробегает все многочлены из $GF(p)[x]]$ , а r пробегает все возможный значения остатков ($2^4$)?
Можно пример элементов?
Я нашел пример, элементы задаются наборами коэффициетов многочлена-остатка, то есть $r(x)$?
$a=(0,1,0,0)$
$a^2=(0,0,1,0)$
$a^3=(0,0,0,1)$
$a+a^2=a^5=(1,1,0,0)$
и так далее
Что означают левые равенства и по какому принципу выбираются коэффициенты?

[VAL]

stiv в сообщении #889828 писал(а):

Не могу разобраться с построением расширения 4 степени поля GF(2)
Выбираем основной многочлен, неприводимый в GF(2), по которому построим идеал: пусть это будет $P(x)=x^4+x+1$
Элементы поля будут иметь вид $[r(x)]=[f\in GF(p)|f(x)= r(x)+Q(x)P(x), Q \in GF(p)[x]]$
Я так понял: Q пробегает все многочлены из $GF(p)[x]]$ , а r пробегает все возможный значения остатков ($2^4$)?

$2^4$ - это количество остатков от деления на полином $P(x).$. Про сами элементы см. ниже.

Цитата:

Можно пример элементов?
Я нашел пример, элементы задаются наборами коэффициетов многочлена-остатка, то есть $r(x)$?
$a=(0,1,0,0)$
$a^2=(0,0,1,0)$

$(0,0,1,0)$ - это набор коэффициентов полинома $0+0x+1x^2+0x^3$

Цитата:

$a^3=(0,0,0,1)$
$a+a^2=a^5=(1,1,0,0)$

Это не так: $a+a^2=a^4=(1,1,0,0)$

Цитата:

и так далее
Что означают левые равенства

Левым (в смысле, неверным) является только последнее

Цитата:

и по какому принципу выбираются коэффициенты?

Каждый элемент поля $GF(2^4)$, по сути, есть класс полиномов, имеющих одинаковые остатки от деления на полином $P(x)$. Соответственно каждый элемент взаимно однозначно соответствует (упорядоченному по возрастанию степени $x$) набору коэффициентов этого остатка.
Складываются такие наборы покомпонентно (разумеется, сложение ведется по модулю 2).
Для умножения наборов перемножают соответствующие полиномы и берут набор коэффициентов остатка от деления полученного полинома на $P(x)$.

[stiv]

Если сложение по модулю 2, то $1+a =(1,1,0,0)=a^4$, как раз-таки все верно получается,$a+a^2=(0,1,1,0)=a^5$
Я ошибся в самом вопросе, не правильно написал $a^5$

[VAL]

stiv в сообщении #889832 писал(а):

Если сложение по модулю 2, то $1+a =(1,1,0,0)=a^4$, как раз-таки все верно получается,$a+a^2=(0,1,1,0)=a^5$
Я ошибся в самом вопросе, не правильно написал $a^5$

Угу.

Возиожно, пригодится. Там много примеров.