Значение функции

[MestnyBomzh]

Добрый вечер! Можно ли сказать, принимает ли функция $y = \sin(\frac{1}{x}), x \in \mathbb{Q}$ значение $\frac{1}{\sqrt{10}}

[alcoholist]

непрерывность

[mihailm]

Скорее всего нет, если бы арксинус от $\frac{1}{\sqrt{10}} был бы рациональным это было бы широко известно

[ИСН]

Если бы арксинус от чего угодно (кроме нуля) был рациональным, это было бы - - -

[veg_nw]

$\arcsin(10 ^ {-1/2})$ является трансцендентым числом.
Доказать это не сложно. Но проще посмотреть следующий линк.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=arcsin%281%2Fsqrt%2810%29%29&x=-862&y=-378

[patzer2097]

mihailm в сообщении #889834 писал(а):

арксинус от $\frac{1}{\sqrt{10}}$ был бы рациональным

ИСН в сообщении #889841 писал(а):

Если бы арксинус от чего угодно (кроме нуля) был рациональным, это было бы - - -

veg_nw в сообщении #889843 писал(а):

$\arcsin(10 ^ {-1/2})$ является трансцендентым числом

кстати это само по себе ничего не доказывает, - например, не доказывает иррациональность числа $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)+150\pi$

[Cash]

Так вроде никто ничего и не доказывал, а всё, в т.ч. трансцендентность $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)+150\pi$ элементарно следует из теоремы Линдемана.

[mihailm]

Таже задача, что и известная "рационален ли $\arctg \frac{3}{4}$?"

[patzer2097]

Cash в сообщении #889878 писал(а):

а всё <...> элементарно следует из теоремы Линдемана

т.е., что $e^q-e^{-q}$ не может быть алгебраическим ни при каком рациональном $q$? А как это из нее следует?

[Cash]

Если $\alpha$ - алгебраическое, то $\beta=\sin \alpha$ - трансцендентно.
Док-во: $2ie^{i\alpha} \beta = e^{2i\alpha}-1$
Если $\beta$ - алгебраическое, то $e^{i\alpha}$ - алгебраическое. Противоречие.

[patzer2097]

ой, точно, спасибо!

[Deggial]

MestnyBomzh в сообщении #889816 писал(а):

Добрый вечер! Можно ли сказать, принимает ли функция $y = \sin(\frac{1}{x}), x \in \mathbb{Q}$ значение $\frac{1}{\sqrt{10}}

MestnyBomzh, замечание за отсутствие попыток решения.

[MestnyBomzh]

Deggial в сообщении #889926 писал(а):

MestnyBomzh, замечание за отсутствие попыток решения.

Этот вопрос связан с моими давними рассуждениями про неразрешимые множества. И еще тогда я думал о функции, множество значений которой неразрешимо, но тогда забросил этот вопрос, сейчас вот вспомнил.

Cash в сообщении #889896 писал(а):

Если $\alpha$ - алгебраическое, то $\beta=\sin \alpha$ - трансцендентно.

Окей, это понятно.
Число $\frac{1}{\sqrt{10}}$ является алгебраическим. А если взять какое-то трансцендентное число в промежутке $[-1;1]$, например, $\frac{\pi}{4}$. То есть, является ли $\arcsin{\frac{\pi}{4}}$ рациональным?

[patzer2097]

MestnyBomzh в сообщении #890039 писал(а):

А если взять какое-то трансцендентное число в промежутке $[-1;1]$, например, $\frac{\pi}{4}$. То есть, является ли $\arcsin{\frac{\pi}{4}}$ рациональным?

А если создать для нового вопроса новую тему и привести свои попытки решения?

[Cash]

Да какие там могут быть попытки?
Задача, на мой взгляд, выглядит совсем гиблой...