Общая топология.

[main.c]

Начал читать книжку "Элементарная топология", и там есть такой момент:

Цитата:

Замкнутость и открытость — во многом аналогичные свойства. Фундамен-
тальное различие между ними состоит в том, что пересечение бесконечного
набора открытых множеств не обязательно открыто, тогда как пересечение
любого набора замкнутых множеств замкнуто, а объединение бесконечного
набора замкнутых множеств не обязательно замкнуто, тогда как объединение
любого набора открытых множеств открыто.

Хотелось бы примеры для этих 4 случаев.
Например возьмём множество $R$ со стандартной топологией.
1. Пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязательно открыто.
Тут я не могу придумать бесконечное семейство интервалов, пересечение множеств которого не открыто.
2. Пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто.
Это очевидно, так как следует из соответствующей аксиомы топологии (объединение любого набора открытых множеств открыто).
3. Объединение бесконечного набора замкнутых множеств не обязательно замкнуто.
Тут я тоже не могу придумать пример.
4. Объединение любого набора открытых множеств открыто - аксиома топологии.

В итоге на 1 и 3 у меня примеров нет.

[Xaositect]

Ну, классический пример для первого - это $\bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} (-\frac{1}{n}; +\frac{1}{n})$.
Для третьего сами придумайте что-нибудь похожее.

[main.c]

На 3 придумал: $\bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} [-n, n] = R$, а что-нибудь поинтереснее есть для 1 и 3? Ну или хотя бы для 3, потому что мой пример одновременно и открытое, и замкнутое множество.

[Xaositect]

$\mathbb{R}$ замкнуто в $\mathbb{R}$, не годится.

[demolishka]

Представьте отрезок как пересечение открытых интервалов и представьте открытый интервал как объединение отрезков. Вот вам примеры.

[main.c]

demolishka в сообщении #889235 писал(а):

Представьте отрезок как пересечение открытых интервалов и представьте открытый интервал как объединение отрезков. Вот вам примеры.

1. $ \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} (-1-\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n}) = [-1, 1]$
2. $ \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} [-1+\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}] = (-1, 1)$

-- 21.07.2014, 18:51 --

Есть ещё одно задание, которое вызывает вопросы:

Цитата:

Перечислите все наборы подмножеств трёхэлементного множества, такие, что
существуют топологии, в которых эти наборы являются полными наборами замкну-
тых множеств.

Я даже задание не совсем понял. Возьмём $X = \{1, 2, 3\}$. Что значит наборы, которые являются полными?

[main.c]

Кажется разобрался. Насколько я понимаю, для решения данного задания достаточно найти все возможные топологии для множества $X$, это и будут искомые наборы?

-- 21.07.2014, 20:03 --

$F_1 = P(X)$
$F_2 = \{\varnothing, X\}$
$F_3 = \{\varnothing, X, \{1\}\}$
$F_4 = \{\varnothing, X, \{2\}\}$
$F_5 = \{\varnothing, X, \{3\}\}$
$F_6 = \{\varnothing, X, \{1, 2\}\}$
$F_7 = \{\varnothing, X, \{1, 3\}\}$
$F_8 = \{\varnothing, X, \{2, 3\}\}$
$F_9 = \{\varnothing, X, \{1\}, \{1, 2\}\}$
$F_{10} = \{\varnothing, X, \{1\}, \{1, 3\}\}$
$F_{11} = \{\varnothing, X, \{2\}, \{2, 1\}\}$
$F_{12} = \{\varnothing, X, \{2\}, \{2, 3\}\}$
$F_{13} = \{\varnothing, X, \{3\}, \{3, 1\}\}$
$F_{14} = \{\varnothing, X, \{3\}, \{3, 2\}\}$
ну и так далее, да?

[Xaositect]

main.c в сообщении #889256 писал(а):

Кажется разобрался. Насколько я понимаю, для решения данного задания достаточно найти все возможные топологии для множества $X$, это и будут искомые наборы?

Угу, только искомые наборы - наборы замкнутых множеств, а топологии - наборы открытых. Но на конечном множестве это неважно.