Прямая сумма алгебр Ли

[Braga]

Не могу разобраться с данным определением. В книге было написано, что прямая сумма для подалгебр Ли это то же самое, что и прямая сумма векторных пространств $L=\lbrace (x_1, x_2) : x_i \in L_i \rbrace$, а операция определена как
$\sqsubset (x_1, x_2), (y_1, y_2) \sqsupset = (\sqsubset x_1, y_1 \sqsupset, \sqsubset x_2, y_2 \sqsupset )$
Уже первая часть мне несколько непонятна, потому что прямая сумма векторных подпространств определена как $X \oplus Y=\lbrace x+y : x \in X, y \in Y \rbrace$.
С другой стороны когда оперируют в теоремах прямой суммой, то могут записать алгебру Ли как прямую сумму некоторых её подалгебр, то есть прямая сумма не менят структуру алгебры, тогда как судя по первому определению - меняет, получается нечто похожее на декартово произведение.

[olenellus]

В алгебре несколько структур. Одна из них — это структура линейного пространства. Прямая сумма алгебр определяется как прямая сумма соответствующих линейных пространств, плюс умножение, которое вводится так, как Вы написали. Нет ничего удивительного в том, что прямое произведение похоже на прямую сумму. В категории коммутативных групп (здесь речь идёт о линейной структуре, так что под групповой операцией в данном случае понимается сложение векторов) прямая сумма двух групп — это их копроизведением и оно совпадает с их прямым произведением (а подлежащее множество является декартовым произведением подлежащих множетсво исходных групп).

Возможно, Вам это не очень понятно на примере линейных пространств. Возьмём простой пример: подпространства $X = (x,0,0)$ и $Y = (0,y,0)$ арифметического пространства $\mathbb{R}^3$. Их прямая сумма будет состоять из векторов $(x,y,0)$ и представляет из себя прямое произведение оси $x$ на ось $y$. Кстати, в Вашем определении прямой суммы линейных подпространств есть недоговорённость. Если $X$ и $Y$ пересекаются нетривиально, то получится не их прямая сумма, а просто сумма. В общем случае, прямая сумма двух подпространств какого-то линейного пространства не является подпространством этого же пространства. Но тогда придётся переопределить то, что Вы обозначили $x+y$. Сделав это, Вы придётся к упорядоченным парам, и прямая сумма станет очень похожа на декартово произведение (коим она и является).

[Braga]

Понятно, но меня интересует больше вот этот момент: что элементы алгебры Ли, которая является прямой суммой двух других алгебр Ли, содержит элементы вида $(x_1, x_2)$, судя по определению, так?
Но с другой стороны иногда записывают одну алгебру, как прямую сумму её же подалгебр. То есть сначала мы имеем, например, $L_1 \subset L$, $L_2 \subset L$ и $L=L_1 \oplus L_2$, и получается, что $L=\lbrace (x_1, x_2) \rbrace$, хотя раньше её элементы были вида просто $x$.
Как более конкретный пример: пусть $L \subset gl(V)$, элементы которой представленны как матрицы $n \times n$ и пусть все её элементы нильпотентны. Пусть А - её максимальная подалгебра. Если $dimL = k$, то $dimA=k-1$ и одновременно А является идеалом L(часть доказательства теоремы Энгеля), $x$ - любой элемент $L$, который не лежит в $A$. Далее пишут, что $L=A \oplus span \lbrace x \rbrace$. В моём понимании элементы $L$ должны бы тогда быть в виде $(a,b) : a \in A, b \in span \lbrace x \rbrace$, но если у неё элементы данного вида, то это уже не подалгебра $gl(V)$ и не может равнятся $L$. В моём понимании в данном случае алгебра, полученная прямой суммой этих двух подалгебр является просто изоморфной $L$, благодаря тому, что $A$ - идеал, но никак не самой $L$.

[olenellus]

Вы уверены, что в этом конкретном месте имеется в виду прямая сумма именно алгебр Ли, а не просто линейных пространств этих алгебр? Для того, чтобы какая-то алгебра распадалась на прямую сумму подалгебр, произведение двух любых элементов из этих алгебр должно зануляться, как видно из определения, данного Вами выше.

-- Вт июл 22, 2014 16:09:39 --

Ну а вообще часто не делают различия между изоморфными объектами, особенно, если существует некий "естественный" изоморфизм. Кроме того, если что-то чему-то изоморфно, то это и означает иносказательно, что эти два что-то имеют одну и ту же структуру.