Пара вопросов про целые числа и полный квадрат.

[ghetto]

Докажите, что если $x$ - целое число и $x \ge 5$, то существует $y > 0$, такое, что $x + y$ дает полный квадрат, где $x > y$.

Доказательство.

$a^2 \le x < (a + 1)^2$ верно для всех целых $ a $.

Надо показать, что для всех $y > 0$, $y + x =$ полный квадрат. Поскольку нет $y > 0$, таких что $y + x =$ полный квадрат для $x = 1, 2, 3, 4$, мы утверждаем, что наше предположение верно для $x \ge 5$.

Если $x = 5, 6, 7, 8$, то $a$ не является целым числом, поэтому указанное выше неравенство не будет действительным, так как мы знаем, что $a$ является положительным целым числом. Mы проверим эти случаи по отдельности.

Пусть $x > y > 0$.

Тогда $5 + 4$ является полным квадратом. Также $6 + 3$, $7 + 2$, $8 + 1$ и $9 + 7$.

Так что достаточно доказать наше утверждение для $x > 9$.

Если $x > 9$, то $a \ge 3$.


Из неравентсва $a^2 \le x < (a + 1)^2$ следует $a^2 -x \le 0 < (a + 1)^2 -x$.

Поскольку $ 0 < (a + 1)^2 -x$, мы позволим $y = (a + 1)^2 -x$.

Чтобы оправдать наш выбор $y$ и доказать наше утверждение, мы также должны показать, что $y + x$ является полным квадратом и $x > y$:

$x + y = x + (a + 1)^2 -x = (a + 1)^2$.

$ y = (a + 1)^2 - x$

$ < (a + 1)^2 - a^2$

$= 2a + 1$

$< a^2$

$\le x$.

----------------------------------

Видно, что $y$ сконструирован из неравенсtва $a^2 \le x < (a + 1)^2$. Означает ли это, что если мы докажем любое утверждение относительно $x$, то оно будет спарведливо для всех $x > 9$ Если $x = 10$, $a$ не может быть целым числом. Как это влияет на утверждение, что док-во спаведливо для всех $x > 9$? Также если $x > 9$, $a$ не может равняться $3$. Если у кого есть время пожалуйста обьясните эти моменты.

[ИСН]

Наверное, по идее правильно, но много лишних букв. Нам что предлагают доказать? Что между $x$ и $2x$ найдётся целый квадрат. Ну так естественно: рассмотрим первый целый квадрат, превосходящий $x$ (то есть такой, что предыдущий квадрат - меньше-или-равен $x$, а этот больше). Начиная с 16, этот квадрат превосходит предыдущий менее чем в 2 раза. Значит, он также превосходит $x$ менее чем в два раза, то есть вот нам и ответ. Меньшие случаи проверяем руками.

-- менее минуты назад --

Собственно, у Вас то же самое написано, только неаккуратно. Что вот это такое, например?

ghetto в сообщении #888979 писал(а):

$a^2 \le x < (a + 1)^2$ верно для всех целых $ a $.

[ghetto]

ИСН в сообщении #888985 писал(а):

Собственно, у Вас то же самое написано, только неаккуратно. Что вот это такое, например?

ghetto в сообщении #888979 писал(а):

$a^2 \le x < (a + 1)^2$ верно для всех целых $ a $.

Неравенство переписал неверно. Это неравенство верно только для некоторых $a$.

[iifat]

Вообще-то, даже не для некоторых. А ровно для одного целого $a$.