2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определители и СЛАУ
Сообщение16.07.2014, 13:45 
Заслуженный участник


11/05/08
31882
 i  Toucan:
Отделено от темы «Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений»

ex-math в сообщении #887863 писал(а):
Как я понял, эта задача встретилась после определителей и ранга, но до систем.

Теоретически это не исключено, но практически подобное построение курса есть явное издевательство. Теория систем гораздо проще теории определителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
ewert
Ну не знаю... По-моему, определители являются удобным аппаратом для построения теории линейных систем. В конце концов, через них определяется ранг, вычисляется обратная матрица, формулируется правило Крамера. И обычно они всегда идут в самом начале курса вместе со свойствами и параллельно с линейной зависимостью. Чтобы говорить о системах нужно и то и то, плюс еще понятие о действиях с матрицами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 15:59 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Для того, чтобы говорить о системах, определителей не нужно совсем (и даже матрицы необязательны). Определять же ранг системы через миноры, а уж тем более через них вычислять обратную матрицу — это просто извращение. Для этого есть метод Гаусса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 18:03 
Заслуженный участник


11/05/08
31882
Joker_vD в сообщении #887880 писал(а):
Определять же ранг системы через миноры, а уж тем более через них вычислять обратную матрицу — это просто извращение. Для этого есть метод Гаусса.

Всё в этом мире относительно. Это извращение с вычислительной точки зрения, но отнюдь не с точки зрения построения курса. К моменту введения понятия обратной матрицы определители всё-таки уже должны быть. И ранг тоже лучше формально определять через миноры -- так симметричнее.

Но вот определять ранг до систем -- бессмысленно абсолютно. Просто потому, что он вне систем никому и не нужен. Да и сами определители как таковые, в общем, тоже.

-- Ср июл 16, 2014 19:30:03 --

ex-math в сообщении #887878 писал(а):
И обычно они всегда идут в самом начале курса вместе со свойствами и параллельно с линейной зависимостью.

Это в учебниках они иногда идут так. А вот попробуйте именно в таком порядке лекции прочитать -- ничего хорошего не выйдет. Учебники и лекционные курсы -- это разные жанры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
ewert
В том то и дело, что приходилось читать. Правда, курс был сильно урезанный, там системами все и заканчивалось. Ну как быть, например, с теоремой Кронекера-Капелли без ранга?
Joker_vD
Говорить-то о системах можно и нужно сразу. Но если иметь в виду "одномоментное" построение теории, то надо уже располагать определителями и рангом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 21:45 
Заслуженный участник


11/05/08
31882
ex-math в сообщении #887922 писал(а):
Правда, курс был сильно урезанный, там системами все и заканчивалось. Ну как быть, например, с теоремой Кронекера-Капелли без ранга?

Во-первых, в сильно урезанном курсе эта теорема никому и нахрен не нужна. А во-вторых,

ex-math в сообщении #887922 писал(а):
если иметь в виду "одномоментное" построение теории, то надо уже располагать определителями и рангом.

-- для достаточно полноценной (с точки зрения приложений) теории СЛАУ как таковых не нужны ни определители, ни тем более ранги. Это уж потом их можно пристегнуть как приятственные бантики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 22:05 
Заслуженный участник


14/03/10
867
ewert в сообщении #887898 писал(а):
Но вот определять ранг до систем -- бессмысленно абсолютно. Просто потому, что он вне систем никому и не нужен.
:twisted:
Почему не нужен? Я где-то читал, что ранг матрицы равен размерности линейного пространства, порожденного ее столбцами. По некоторым данным, эта геометрическая интерпретация весьма важна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 22:11 


10/02/11
6786
ну как почему не нужен? потому, что к чтению курсов в которых говорят "ранг" их еще подпускают, а к чтению курсов , в которых говорят "размерность образа" уже нет :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 22:14 
Заслуженный участник


11/05/08
31882
Если кому любопытно, то я полюбопытствовал (в недрах винчестера), когда читал этот курс последний раз. Оказалось, что чуть более трёх лет назад. Вот список экзаменационных вопросов (вполне согласованных с порядком прочтения):

Цитата:
1. Определение комплексного числа. Алгебраическая форма записи.
2. Модуль комплексного числа и комплексное сопряжение, их свойства. Деление комплексных чисел.
3. Полярные координаты на плоскости и их связь с декартовыми.
4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Свойства модуля и аргумента.
5. Формулы Муавра для возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа.
6. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа.
7. Гиперболические функции и их свойства.
8. Многочлены и действия над ними. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
9. Кратность корня многочлена и её связь с производными.
10. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Разложение многочлена на вещественные и на комплексные множители.
11. Матрицы и линейные операции над ними. Транспонирование.
12. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
13. Формулы Крамера для систем линейных уравнений 2-го порядка. Определители 2-го порядка и их свойства.
14. Аксиоматическое определение определителя и его простейшие свойства.
15. Перестановки. Обратная перестановка, транспозиции, чётность перестановки.
16. Общая формула для определителя произвольного порядка. Определитель транспонированной матрицы.
17. Разложение определителя по строке (столбцу).
18. Теорема о сумме произведений элементов строки на алгебраические дополнения другой строки.
19. Вычисление определителя методом Гаусса. Определитель треугольной матрицы.
20. Формулы Крамера для систем линейных уравнений произвольного порядка.
21. Умножение матриц и его свойства. Матричная запись системы линейных уравнений.
22. Определитель произведения матриц.
23. Обратная матрица и её свойства.
24. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.
25. Решение матричных уравнений. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.
26. Векторная алгебра: линейные операции над векторами, скалярное произведение.
27. Проекция вектора на ось и компонента на оси, их связь между собой и со скалярным произведением.
28. Доказательство линейности скалярного произведения. Координатное представление скалярного произведения.
29. Векторное произведение: геометрическое определение, простейшие свойства.
30. Смешанное произведение и его свойства. Правые и левые тройки векторов.
31. Доказательство линейности векторного произведения.
32. Правые и левые системы декартовых координат. Координатные представления для векторного и смешанного произведений.
33. Двойное векторное произведение. Неассоциативность векторного произведения.
34. Уравнения плоскости в пространстве: общее, через три точки, в отрезках.
35. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
36. Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические, связь между ними.
37. Эллипс и его уравнение в полярных координатах.
38. Гипербола и её уравнение в полярных координатах.
39. Парабола и её уравнение в полярных координатах.
40. Преобразования координат на плоскости: сдвиг, отражение, поворот.
41. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
42. Уравнения эллипса, параболы и гиперболы в полярных координатах.
43. Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, конус.
44. Поверхности второго порядка: параболоиды, цилиндры.
45. Линейная независимость строк матрицы и её связь с определителем в случае квадратной матрицы.
46. Определение ранга матрицы через миноры и его связь с линейной независимостью строк (столбцов).
47. Теорема Кронекера-Капелли.


Пара комментариев.

1). 12-й вопрос -- про метод Гаусса -- на лекциях отнял довольно много времени, практически целую лекцию, но в экзаменационные билеты фактически не включался, слишком много там было размахиваний руками (практически очевидных) и маловато того, что можно компактно формализовать.

2). Последние три вопроса -- вставлены лишь для порядка (в билеты опять же не включались), т.к. последняя лекция вообще читалась лишь в качестве добивки, для моральной подготовки ребят к более серьёзному курсу ЛА в следующем семестре. Который предполагалось читать уже не мне (как и случилось).

Пардон. Только сейчас (спустя три с половиной года) заметил: в вопросы 37-39 вкралась никому не нужная полярность. И что занятно -- никто из студентов тоже даже и внимания на это не обратил, все отвечали по существу. Т.е. в соответствии с конспектным упорядочением параграфов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение17.07.2014, 08:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
ewert
Ну как же может быть нахрен не нужен критерий существования решения? Конечно, на семинаре все решается методом Гаусса, но и общую картину неплохо бы представлять. А для этого метод Гаусса не очень подходит, как раз из-за неудобства формализации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители и СЛАУ
Сообщение17.07.2014, 11:19 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Toucan:
Отделено от темы «Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group