твердое тело

[Oleg Zubelevich]

Опр. Назовем два твердых тела динамически эквивалентными, если при наложении на них систем сил с одинаковыми главными векторами и главными моментами относительно центров масс ,их движение описывается одинаковыми уравнениями.

Доказать, что всякое твердое тело динамически эквивалентно системе четырех материальных точек одинаковой массы, соединенных невесомыми жесткими стержнями.

[Munin]

Дайте ещё и определения "главных векторов" и "главных моментов". Это далеко не общепринятая терминология.

[Oleg Zubelevich]

Пусть к телу приложены силы $\overline F_1,\ldots,\overline F_n$ в точках $ A_1,\ldots, A_n$ соответственно
главный вектор: $\overline F=\sum_{k=1}^n\overline F_k$
главный момент: $\overline M_S=\sum_{k=1}^n[\overline{SA}_k,\overline F_k]$, где $S$ -- центр масс

[Утундрий]

Собственно, о движении здесь можно и не думать. Требуется лишь показать, что тензор инерции произвольного твёрдого тела можно сфабриковать означенными четырьмя точками.

[Oleg Zubelevich]

да, конечно, именно это и состапвляет суть задачи

[Oleg Zubelevich]

Введем ортонормированную систему $OXYZ$ и расположим точки массой $m$ каждая следующим образом

$$(x,0,z),\quad (-x,0,z),\quad (0,-y,-z),\quad (0,y,-z)$$

Центр масс этой системы точек находится в начале. Через $J_O$ обозначим оператор интерции этой системы точек, взятый в начале координат. Оси $X,Y,Z$ являюются главными осями $J_O$. Для любого диагонального оператора инерции $I$ можно так выбрать $x,y,z$ , что $J_O=I$. Есть существенная тонкость: матрица $I$ в этом утверждении должна быть матрицей оператора инерции, а не просто матрицей положительно определеной квадратичной формы.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #888045 писал(а):

Есть существенная тонкость: матрица $I$ в этом утверждении должна быть матрицей оператора инерции, а не просто матрицей положительно определеной квадратичной формы.

Как это условие выглядит алгебраически? Я попытался разобраться, но не сумел обобщить ответ.

[Oleg Zubelevich]

положительно определенный оператор $I=\mathrm{diag}\,(A,B,C)$ (записанный в ортонормированной системе координат) является оператором инерции iff $A+B\ge C,\quad A+C\ge B,\quad C+B\ge A$

[Munin]

Я получил то же, но только для узкого частного случая. Какова идея доказательства в общем случае?

-- 17.07.2014 14:29:14 --

А впрочем... индукция? Нет, в обратную сторону ($\Leftarrow$) не получается.

-- 17.07.2014 14:48:50 --

Уточните название, пожалуйста.

[Oleg Zubelevich]

Если $I$ это оператор инерции (необязательно диагональный), то для его диагональных элементов верны неравенства. Это проверяется просто для одной точки, а потом по адитивности.
Если верны неравенства, то диагональный оператор $I$ -- оператор инерции. Это следует из построенной конструкции.



У Голубева про это должно быть.

-- Чт июл 17, 2014 13:53:02 --

ЮФ Голубев Основы теор. механики

[Munin]

У Голубева нет утверждения в обратную сторону ($\Leftarrow$). Кроме того, у него доказательство другое, чем у вас, и более понятное (мне, по крайней мере).

Oleg Zubelevich в сообщении #888064 писал(а):

а потом по адитивности

Это довольно сложно.

Oleg Zubelevich в сообщении #888064 писал(а):

Это следует из построенной конструкции.

Не следует, поскольку могут возникнуть более сильные неравенства, чем проверенные.

-- 17.07.2014 16:04:33 --

Довольно интересно. В разных областях физики вылезает один и тот же тензор $B=A-\tfrac{1}{2}\operatorname{Tr}A$ (где $A$ - симм. тензор 2 ранга). Кроме тензора инерции (у Голубева только что), я его встречал в теории относительности. Вы не объясните, какими такими чудесными свойствами обладает такой тензор?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #888084 писал(а):

Не следует, поскольку могут возникнуть более сильные неравенства, чем проверенные.

ну как это не следует, следует. Я же предъвил твердое тело под оператор , удовлетворяющий неравенствам.

[Nemiroff]

http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=39333
http://e-science.ru/forum/index.php?s=& ... t&p=371743
В тему.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #888205 писал(а):

ну как это не следует, следует. Я же предъвил твердое тело под оператор , удовлетворяющий неравенствам.

Вы про это?

Oleg Zubelevich в сообщении #888045 писал(а):

Для любого диагонального оператора инерции $I$ можно так выбрать $x,y,z$ , что $J_O=I$.

Здесь опущены выкладки для $x,y,z.$

(Если что, сам вопрос для меня закрыт, в Голубеве всё написано.)

-- 17.07.2014 21:50:14 --

Nemiroff
Шкляроз...