Рациональные функции на алгебраическом многообразии

[OlgaD]

Подскажите, пожалуйста, как понимать следующее определение рациональной функции:

Цитата:

Для каждого (алгебраического) многообразия $Y$ определим его поле функций $k(Y):$ элемент из $k(Y)$ --- это класс эквивалентности пар $(U,f),$ где $U$ --- непустое открытое подмножество в $Y,\;f$ --- регулярная функция на $U$ и две пары $(U,f)$ и $(V,g)$ отождествляются, если $f=g$ на $U\cap V.$ Элементы из $k(Y)$ называются рациональными функциями на $Y.$

Можно это понимать так: используя предложенное отношение эквивалентности, мы "склеиваем" единую рациональную функцию $F$ из рациональных функций, определенных на открытых подмножествах многообразия $Y?$

[OlgaD]

Я так поняла, такое определение используется чаще для проективных многообразий, так как там любая регулярная функция константа, а для аффинных многообразий это определение совпадает с полем частных регулярных функций.

[OlgaD]

Распространим определение поля рациональных функций с аффинного случая на общий случай. Для этого заметим, что если аффинное многообразие $V$ неприводимо и $U\subset V$ --- открытое в $V$ аффинное подмногообразие, то $U$ также неприводимо и, кроме того,
легко видеть, что ограничение на $U$ рациональных функций, определенных на $V,$ приводит к изоморфизму полей $\mathbb{C}(U)$ и $\mathbb{C}(V).$ Поэтому если $U_1$ и $U_2$ --- непустые аффинные открытые множества неприводимого алгебраического многообразия $X,$ то имеют место естественные изоморфизмы

$$\mathbb{C}(U_1)\simeq\mathbb{C}(U_1\cap U_2)\simeq\mathbb{C}(U_2).$$

Тем самым мы можем определить поле рациональных функций $\mathbb{C}(X)$ на неприводимом алгебраическом
многообразии $X.$ Элементами поля $\mathbb{C}(X)$ являются рациональные функции $f_U,$ определенные на непустых аффинных открытых подмногообразиях $U\subset X,$ причем $f_{U_1}=f_{U_2},$ если ограничения $f_{U_1}$ и $f_{U_2}$ на $U_1\cap U_2$ совпадают.