Помогите с задачей по диф. геометрии

[xenich]

Найти уравнение линий на прямом геликоиде с линейным элементом
$ds^2=du^2+(u^2+a^2)dv^2$,
которые делят угол между координатными линиями пополам.

Моё решение:
Обозначим координатные линии:
$L_1: u=u_1, du=0; v=t, dv=dt$
$L_2: u=t, \delta u=dt; v=v_1, \delta v=0 $
Неизвестная кривая:
$L_3: u=t, \Delta u=dt; v=f(t), \Delta v=f'(t)dt$

Приравняем:
$cos(L_1,L_3)=cos(L_2,L_3)$ в точке пересечения
$\frac{(u_1^2+a^2)dtf'(t)dt}{\sqrt{(u_1^2+a^2)dt^2}\sqrt{dt^2+(t^2+a^2)(f'(t))^2dt^2}}=\frac{dtdt}{\sqrt{dt^2}\sqrt{dt^2+(t^2+a^2)(f'(t))^2dt^2}} $
После сокращений и интегрирования получаем:

$L_3:$

$u=t$

$v=\frac{t-u_1}{\sqrt{u_1^2+a^2}}+v_1$

Это - пол-решения. Объясните, пожалуйста, как получить вторую кривую?