Можно ли привести пример оператора для которого есть такое пересечение на ненулевой вектор?
Образ пересекается с ядром -- это вот что означает: для некоторого икса

, но

(ровно в этом случае вектор

принадлежит одновременно и ядру, и образу). Т.е.

-- это корневой, но не собственный вектор для

, отвечающий нулевому собственному числу. Простейший пример такого оператора:

.
-- Сб июл 12, 2014 12:27:34 --
в

Соответственно, не подойдёт -- он вполне себе диагонализуем.