Одна деталь в доказательстве Olega Zubelevicha

[Keter]

Oleg Zubelevich в сообщении #832654 писал(а):

по теореме Банаха-Штейнгауза

Недавно вспомнил эту задачу. Мне кажется, что тут не нужно теоремы Б-Ш. Проверьте пожалуйста, правильно ли я думаю.

Лемма. Пусть $M \subset L^{p'}[0,1]$ - тотальное множество (т.е. линейная оболочка $(M)$ всюду плотная в $L^{p'}[0,1]$), $\{ \psi_n, n \ge 1 \} \subset L_{p'}^{*} [0,1].$ И выполняются условия:

1) $\exists C>0 \forall n \ge 1: \lVert \psi_n \rVert \le C;$

2) $\forall f\in M: \psi_n (f) \to \psi (f), n \to \infty.$

Тогда $\forall h \in L^{p'}[0,1]: \psi_n(h) \to \psi(h), n \to \infty.$

Доказательство. Пусть $h \in L^{p'}[0,1].$ Поскольку л.о.$(M)$ всюду плотная в $L^{p'}[0,1],$ то $\forall \varepsilon>0 \quad \exists f \in M: \lVert h-f \rVert_{L^{p'}[0,1]} =\lVert h-f \rVert < \dfrac{\varepsilon}{3C}.$

Теперь из (2) $\Rightarrow \quad \exists N\in \mathbb{N} \quad \forall n \ge N: |\psi_n(f) - \psi(f)|<\dfrac{\varepsilon}{3}.$

Далее, $\forall n \ge N: |\psi_n(h) - \psi(h)|=|\psi_n(h) - \psi_n(f)+\psi_n(f) - \psi(f)+\psi(f) - \psi(h)| \le $

$$\le |\psi_n(h) - \psi_n(f)|+|\psi_n(f) - \psi(f)|+|\psi(f) - \psi(h)| \le \lVert \psi_n \rVert \cdot \lVert h-f \rVert +\dfrac{\varepsilon}{3}+\lVert \psi \rVert \cdot \lVert h-f \rVert < C\dfrac{\varepsilon}{3C}+\dfrac{\varepsilon}{3}+C\dfrac{\varepsilon}{3C}=\varepsilon.$$