Норма оператора

[Antichny]

Доказать, что оператор является линейный,ограниченный. Найти норму оператора.

$$F(x)=(t^3-1)\int_{0}^{1}x(s)ds,$$ $$X=C[0,1]. $$

линейность я доказал:

$$F(x+y)=(t^3-1)\int_{0}^{1}(x(s)+y(s))ds=(t^3-1)(\int_{0}^{1}x(s)ds + \int_{0}^{1}y(s)ds)=Fx+Fy.$$

$$F(\lambda x)=(t^3-1)\int_{0}^{1}\lambda x(s) ds = \lambda (t^3-1)\int_{0}^{1}x(s) ds= \lambda F(x)$$

норма оператора в С[0,1]:

$$\Vert F(x)\Vert=\max_{t\in[0,1]}\vert(Fx)\vert=\max_{t\in[0,1]}\vert(t^3-1)\int_{0}^{1}x(s)ds\vert$ на этом месте я остановился, я знаю что нужно оценить с двух сторон, но вот как - не понимаю.

[Otta]

А куда действует, тоже в $C[0,1]$?

Antichny в сообщении #885875 писал(а):

но вот как - не понимаю.

Ну многочлен же ж. Ищите себе его максимум, максимум модуля, что хотите.

[Dan B-Yallay]

Antichny в сообщении #885875 писал(а):

норма оператора в С[0,1]:
$\| F(x)\| =\max\limits_{t\in[0,1]}\vert(Fx)\vert \ldots $

$\| x\|=?$

[Otta]

Dan B-Yallay
Он про норму $F(x)$, как я понимаю, а не про норму самого оператора пока. Хотя и напрасно.

[Antichny]

верна ли будет такая цепочка неравенств:

$$\Vert F(x)\Vert=\max_{t\in[0,1]}\vert(Fx)\vert=\max_{t\in[0,1]}\vert(t^3-1)\int_{0}^{1}x(s)ds\vert\le \min_{t\in[0,1]}\vert(t^3-1)\vert\max_{s\in[0,1]}\vert\int_{0}^{1}x(s)ds\vert\le\Vert x \Vert\max_{s\in[0,1]}\int_{0}^{1}ds \le$$\le \Vert x \Vert$$$$

[Otta]

Пока все хорошо. Только минимум там зачем, у Вас же все по модулю.

[Antichny]

а что дальше делать?

[Otta]

Ну и что уже на этот момент можно сказать про норму оператора?

[Red_Herring]

Otta в сообщении #885897 писал(а):

Пока все хорошо. Только минимум там зачем, у Вас же все по модулю.

Вообще-то нехорошо: то, что с минимумом не просто ненужное но и делает цепочку неправильной.

[Otta]

Red_Herring

(Оффтоп)

Если быть дотошным, то да. Но это легко устранить, а и на ошибку указано.
На самом деле, я сперва этого просто не заметила, дописывала потом. Исправит.

[Antichny]

Otta, а что с минимумом не так, объясните, если вам не сложно.

[Otta]

А откуда он там? Чем Вы руководствовались?

[Antichny]

я подумал, что если поставить минимум, то выражение $|(t^3-1)|\le 1$ и я смогу его отбросить при дальнейшей оценке.

[Otta]

Не, не годится. Жило-было выражение. Нужно было оценить его максимум. А мы взяли, один из сомножителей заменили на минимум и сказали, что то, что получилось, больше, чем то, что было.
Оцените аккуратнее в этом месте.

[Antichny]

Otta, то есть в том месте должно быть $... \le \max_{t\in[0,1]}|(t^3-1)|\max_{t\in[0,1]}|\int_{0}^{1}x(s)ds|\le...$