про свободные модули вопрос

[spyphy]

Можете прояснить несколько моментов?

Ориентируюсь на книгу Картана А. Гомологическая алгебра (с.20):

Пусть $A$ --- $\Lambda$-модуль. Тогда совокупность всех формальных сумм $F_A := \{ \sum \lambda_i x_i \mid \lambda_i \in \Lambda, x_i \in A \}$ является свободным модулем.

Здесь не могу понять, почему $F_A$ вообще отличается от $A$? Мне казалось, что должно быть $\sum \lambda_i x_i \in A$.
Если $F_A \neq A$, то как построить гомоморфизм $F_A \to A$?

И еще, далее от туда же (с.22):

Цитата:

Пусть $F$ --- свободный модуль с базой ${x_a}$, $f: F \to A''$ --- некоторый гомоморфизм и $g: A \to A''$ --- произвольный эпиморфизм. Для каждого свободного образующего $x_a$ выберем такой элемент $y_a \in A$, что $g(y_a) = f(x_a)$. Гомоморфизм $h: F \to A$, для которого $h(x_a) = y_a$, удовлетворяет, очевидно, условию $gh = f$. Тем самым доказано, что модуль $F$ проективен.

Где здесь использовано то, что $F$ свободный? Только для свободного $F$ отображение $h$ будет гоморфизмом?

[Xaositect]

spyphy в сообщении #884150 писал(а):

Ориентируюсь на книгу Картана А. Гомологическая алгебра (с.20):

Пусть $A$ --- $\Lambda$-модуль. Тогда совокупность всех формальных сумм $F_A := \{ \sum \lambda_i x_i \mid \lambda_i \in \Lambda, x_i \in A \}$ является свободным модулем.

У меня, наверное, другое издание, написано вот что:

Цитата:

Пусть $X$ - произвольное множество. Совокупность $F_X$ всех формальных конечных сумм $\sum \lambda_i x_i$, где $\lambda_i\in\Lambda$, $x_i\in X$ является, очевидно, свободным модулем с базой $X$ (каждый элемент $x\in X$ мы отождествляем с элементом $1x\in F_X$). В частности, принимая за $X$ некоторый модуль $A$, мы можем таким образом построить свободный модуль $F_A$. Тождественное отображение базы модуля $F_A$ на модуль $A$ допускает продолжение до некоторого гомоморфизма $F_A\to A$.

То есть здесь выражение "формальная сумма" следует понимать так, что при построении модуля $F_A$ мы рассматриваем $A$ как множество без структуры, забываем, что элементы $A$ можно складывать и умножать сами по себе. Например, если взять в $A$ элементы $x,y$ такие, что $y = \lambda x$, в модуле $F_X$ элементы $1y$ и $\lambda x$ будут различны.

spyphy в сообщении #884150 писал(а):

Где здесь использовано то, что $F$ свободный? Только для свободного $F$ отображение $h$ будет гоморфизмом?

Да, если $F$ не свободен, гомоморфизма $h$ может не существовать.

[spyphy]

Xaositect в сообщении #884154 писал(а):

У меня, наверное, другое издание, написано вот что:

Я просто сократил для себя, что видимо и стало причиной недопонимания. Вроде бы сейчас понятно.

Xaositect в сообщении #884154 писал(а):

Например, если взять в $A$ элементы $x,y$ такие, что $y = \lambda x$, в модуле $F_X$ элементы $1y$ и $\lambda x$ будут различны.

А гомоморфизм $F_A\to A$ стало быть отображает эти элементы $1y$ и $\lambda x$ в один элемент из $A$.

[Xaositect]

spyphy в сообщении #884177 писал(а):

А гомоморфизм $F_A\to A$ стало быть отображает эти элементы $1y$ и $\lambda x$ в один элемент из $A$.

Да.