2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Слупы:мартингал
Сообщение04.07.2014, 16:52 


09/01/14
48
Доказать, что $h_k=(W_t-\frac{ t^2 }{ 2 })^k$-мартингал относительно естественной фильтрации винеровского процесса $W_t, k \in \mathbb{N} $

Как можно решить такую задачку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Слупы:мартингал
Сообщение04.07.2014, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
По определению пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Слупы:мартингал
Сообщение04.07.2014, 18:53 


09/01/14
48
$Mh_k=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(x-\frac{ t^2 }{ 2 } )^k \cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi t }} e^{\frac{ -x^2 }{ 2t }} dx =[y=x-\frac{ t^2 }{ 2 },dx=dy]=\frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi t }}\int\limits_{-\infty}^{\infty}y^k \cdot  e^{\frac{ -(y+\frac{ t^2 }{ 2 })^2 }{ 2t }} dy= e^{\frac{ -t^3 }{ 8 }}\frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi t }}\int\limits_{-\infty}^{\infty}y^k \cdot  e^{\frac{ -y^2-yt^2 }{ 2t }} dy=e^{\frac{ -t^3 }{ 8 }}\frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi t }}I_k$
$I_k=\int\limits_{-\infty}^{\infty}y^k \cdot e^{\frac{ -y^2-yt^2 }{ 2t }} dy=\int\limits_{-\infty}^{\infty}y^k \cdot e^{\frac{ -yt^2 }{ 2t }} (\frac{ -t }{ y }) de^{\frac{ -y^2 }{ 2t }}=-t\int\limits_{-\infty}^{\infty} y^{k-1} \cdot  e^{\frac{ -yt^2 }{ 2t }} de^{\frac{ -y^2 }{ 2t }}=-t(\left.{ y^{k-1} \cdot  e^{\frac{ -yt^2 -y^2}{ 2t }} }\right|_{ -\infty }^{ \infty } - \int\limits_{-\infty}^{\infty} y^{k-1} (\frac{ -t }{ 2 }) \cdot  e^{\frac{ -yt^2 -y^2 }{ 2t }}dy- \int\limits_{-\infty}^{\infty} y^{k-2} (k-1) \cdot  e^{\frac{ -yt^2 -y^2 }{ 2t }}dy) = 0 - \frac{ t^2 }{ 2 }I_{k-1} + (k-1)t I_{k-2}$
$I_k=(k-1)t I_{k-2}- \frac{ t^2 }{ 2 }I_{k-1}$
$I_0=e^{\frac{ t^3 }{ 8 }}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{ -x^2 }{ 2t }} dx = \sqrt{2 \pi t} e^{\frac{ t^3 }{ 8 }}$
$I_1=\frac{ -t^2 }{ 2 } \sqrt{2 \pi t} e^{\frac{ t^3 }{ 8 }}$
$I_2=(t+\frac{ t^4 }{ 4 }) \sqrt{2 \pi t} e^{\frac{ t^3 }{ 8 }}$
$I_3=(\frac{ -3t^3 }{ 2 }-\frac{ t^6 }{ 8 }) \sqrt{2 \pi t} e^{\frac{ t^3 }{ 8 }}$
Не понятно, как доказать ограниченность матожидания

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение04.07.2014, 19:20 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите свои попытки решения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.07.2014, 22:31 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Слупы:мартингал
Сообщение06.07.2014, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
А зачем Вам вообще матожидание $h_k$, когда в определении мартингала стоят условные матожидания? Чему равно $\mathsf E(W_t^m\,|\, W_s)$?

Если Вы имеете в виду не равномерную ограниченность, а просто существование, так у нормального распределения все степенные моменты существуют, зачем вычисления? На интеграл посмотрите. Степерь и экспонента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слупы:мартингал
Сообщение07.07.2014, 10:10 


09/01/14
48
$E(h_k(t)|F_s)=E((W_t - \frac{ t^2 }{ 2 })^k|F_s)=E((W_s +W_{t-s} - \frac{ (t-s+s)^2 }{ 2 })^k|F_s)= E(((W_s - \frac{ s^2 }{ 2 }) + (W_{t-s}-\frac{ (t-s)^2 }{ 2 } - (t-s)s ))^k|F_s)= E(((W_s - \frac{ s^2 }{ 2 }) + (W_{t-s}-\frac{ (t^2-s^2) }{ 2 }))^k|F_s)= (W_s - \frac{ s^2 }{ 2 })^k +  \sum\limits_{n=1}^{k} \frac{ k! }{ n!(k-n)! } (W_s - \frac{ s^2 }{ 2 })^{k-n} E((\frac{ s^2-t^2 }{ 2 })^n|F_s) $.
$ E(( (s^2-t^2) \!\!\not{\phantom{|}}\,  2  )^n |F_s)=0$?
В одном примере было написано $E(-n|F_s)=-n, (S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_k,n  \in Z_+) $- случайное блуждание, $X_n=S_n^2-n,  \varepsilon_i $ -н.о.р. сл.в. $P( \varepsilon_i=1)=P( \varepsilon_i=-1)= 1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2$

$E(W_t^m|W_s)=E((W_s+W_{t-s})^m|W_s)=W_s^m$ по биному Ньютона

 Профиль  
                  
 
 Re: Слупы:мартингал
Сообщение07.07.2014, 10:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Ivan0001 в сообщении #884843 писал(а):
$ E(( (s^2-t^2) \!\!\not{\phantom{|}}\,  2  )^n |F_s)=0$?

Нет, конечно. См. свойства УМО. Математическое ожидание константы есть она сама, будь то условное или простое матожидание.
Ivan0001 в сообщении #884843 писал(а):
$E(W_t^m|W_s)=E((W_s+W_{t-s})^m|W_s)=W_s^m$ по биному Ньютона

Снова нет. Как это получилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Слупы:мартингал
Сообщение08.07.2014, 18:08 


09/01/14
48
--mS-- в сообщении #884846 писал(а):
Как это получилось?

Почему-то думал, что $E(W_{t-s}^m|W_s)=0$. Но чтобы
$E(W_t^m|W_s)=E((W_s+W_{t-s})^m|W_s)=W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{ m! }{ k!(m-k)! }W_s^{m-k} E(W_{t-s}^k|W_s) = W_s^m$ (так как $W_s$ независима от $W_{t-s}$) получается, что $\sum\limits_{k=1}^{m}\frac{ m! }{ k!(m-k)! }W_s^{m-k} E(W_{t-s}^k|W_s)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Слупы:мартингал
Сообщение08.07.2014, 19:23 


09/01/14
48
Для неотрицательных целых $p$, центральные моменты нормального распределения таковы:

$\mathrm{E}\left[X^p\right] = \begin{cases} 0 & p=2n+1, \\ \sigma^p\,(p-1)!! & p=2n. \end{cases}$

Значит,

$E(W_t^m|W_s)=E((W_s+W_{t-s})^m|W_s)=W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{m!}{k!(m-k)!}W_s^{m-k}E(W_{t-s}^k|W_s) = \begin{cases} W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{(m-1)/2}\frac{m!}{k!(m-2k)!}W_s^{m-2k}t^k (2k-1)!! & m=2k+1, \\ W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{m/2}\frac{m!}{k!(m-2k)!}W_s^{m-2k}t^k (2k-1)!!& m=2k. \end{cases}  $

 Профиль  
                  
 
 Re: Слупы:мартингал
Сообщение09.07.2014, 05:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Да не надо тут, мне кажется, вычислять моменты. Оставьте их в виде $\mathsf EW_{t-s}^k$, всё равно потом сворачивать куда-то придётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слупы:мартингал
Сообщение09.07.2014, 21:46 


09/01/14
48
--mS-- в сообщении #885618 писал(а):
Оставьте их в виде $\mathsf EW_{t-s}^k$, всё равно потом сворачивать куда-то придётся.

куда например?
Ivan0001 в сообщении #885451 писал(а):
$E(W_t^m|W_s)=E((W_s+W_{t-s})^m|W_s)=W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{m!}{k!(m-k)!}W_s^{m-k}E(W_{t-s}^k|W_s) = \begin{cases} W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{(m-1)/2}\frac{m!}{k!(m-2k)!}W_s^{m-2k}(t-s)^k (2k-1)!! & ,m=2k+1, \\ W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{m/2}\frac{m!}{k!(m-2k)!}W_s^{m-2k}(t-s)^k (2k-1)!!& ,m=2k. \end{cases}  $

Так как слагаемые $\frac{m!}{k!(m-2k)!}W_s^{m-2k}(t-s)^k (2k-1)!!$ не равны нулю, отсюда следует, что $W_s^m$ - не мартингал.

В моей задаче, я тоже склоняюсь к тому, что у меня не мартингал:
$E(h_n(t)|F_s)=E((W_t - \frac{t^2}{2})^n|F_s)= E(\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!(n-k)!}W_t^{n-k}(\frac{t^2}{2})^k|F_s)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!(n-k)!}(\frac{t^2}{2})^kE(W_t^{n-k}|F_s) =\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!(n-k)!}(\frac{t^2}{2})^k E(\sum\limits_{l=0}^{n-k}\frac{(n-k)!}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}W_{t-s}^l|F_s) =\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=0}^{n-k}\frac{1}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}E(W_{t-s}^l) =\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=1}^{n-k}\frac{1}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}E(W_{t-s}^l) =\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}\sum\limits_{m=0}^{k}\frac{k!}{m!(k-m)!}\frac{1}{2^{k-m}} s^{2(k-m)} (t-s)^{2m} \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=1}^{n-k}\frac{1}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}E(W_{t-s}^l) =\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!} (\frac{s^2}{2})^k \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}\sum\limits_{m=1}^{k}\frac{k!}{m!(k-m)!}\frac{1}{2^{k-m}} s^{2(k-m)} (t-s)^{2m} \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=1}^{n-k}\frac{1}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}E(W_{t-s}^l) =(W_s - \frac{s^2}{2})^n + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}\sum\limits_{m=1}^{k}\frac{k!}{m!(k-m)!}\frac{1}{2^{k-m}} s^{2(k-m)} (t-s)^{2m} \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=1}^{n-k}\frac{1}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}E(W_{t-s}^l)$
Чтобы процесс был мартингалом, нужно чтобы

0= \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}\sum\limits_{m=1}^{k}\frac{k!}{m!(k-m)!}\frac{1}{2^{k-m}} s^{2(k-m)} (t-s)^{2m} \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + 
\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=1}^{n-k} \frac{1}{l!(n-k-l)!} W_s^{n-k-l} E(W_{t-s}^l)
Пока не знаю, как доказать или опровергнуть это равенство

 Профиль  
                  
 
 Re: Слупы:мартингал
Сообщение09.07.2014, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Ну попробуйте взять маленькие $k$, видно будет. Единицу не стоит, а двойку уже можно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group