Граф из простого бесконечного цикла

[shkolnik]

По определению, упорядоченная пара множеств обозначается $(a,b)$ и представляет собой множество $\{\{a\},\{a,b\}\}$.
Пусть $a=\varnothing, b=a \sub\{a\}…$, т.е. элементы возьмем из индуктивного множества (существующего по аксиоме бесконечности).
Будем увеличивать количество элементов: $a,b,c,d…$ и, соответственно, последовательность пар $\{(a,b), (b,с), (c,d), (d, …),…\}$ до бесконечности.
Получится граф, состоящий из бесконечного числа указанных ребер (упорядоченных пар).
Теперь, будем последовательно брать последовательности пар из получившегося множества и "замыкать" их, сначала, $\{(a,b), (b,a)\}$ (запишется так $\{\{\{a\},\{a,b\}\}, \{\{b\}, \{b,с\}\}\}$), затем $\{(a,b), (b,с),(c,a)\}$, затем, $\{(a,b), (b,с),(c,d), (d,a)\}$, и т.д. получая каждый раз граф из простого цикла. Примерно, как аппроксимация множества точек окружности многогранниками.
По идее, множество, состоящее из всех таких множеств, обозначим его $X$ счетно-бесконечное, как и индуктивное бесконечное множество, из элементов которого оно построено.
Но существует ли в нем бесконечное подмножество ?
Вроде бы, по определению, бесконечность множества, это наличие в нем бесконечного подмножества. Но все элементы множества $X$ "замкнуты" (являются простыми циклами), т.е. в любом из них есть элемент $(x, \varnothing)$, соответственно, в любом подмножестве, если оно бесконечно, должен быть такой элемент, а это невозможно. Соответственно, и множество $X$ не может быть бесконечным. Или только счетно-бесконечным ?
Хотя, по построению, они эквиваленты, равномощны и невозможно указать элемент, который был бы в индуктивном множестве, но не был бы в множестве $X$. Обычно, если невозможно указать, чем отличаются множества, привести элемент, который есть в одном множестве, но нет в другом, множестве считаются равномощными.
Так происходит ли "разрыв" простой цепи многогранника, аппроксимирующего окружность, при устремлении числа его вершин к счетной бесконечности или это множество просто является несчетным (из-за невозможности линейной упорядоченности, а не из-за континуума элементов) ?

[iifat]

shkolnik в сообщении #883838 писал(а):

по определению, бесконечность множества, это наличие в нем бесконечного подмножества

Ни фига ж себе определеньице было б — бесконечным называется множество, имеющее бесконечное подмножество... Или вы хотели в раздел юмора?

shkolnik в сообщении #883838 писал(а):

Обычно, если невозможно указать, чем отличаются множества, привести элемент, который есть в одном множестве, но нет в другом, множестве считаются равномощными

Ну точно ж — юмор!

[shkolnik]

iifat в сообщении #883907 писал(а):

Ни фига ж себе определеньице было б — бесконечным называется множество, имеющее бесконечное подмножество... Или вы хотели в раздел юмора?

Не смешно.
По определению, множество называется бесконечным, если оно равномощно некоторому (одному из.., не единственному), своему подмножеству. Посмотрите любой учебник или лекции по основам ТМ.

iifat в сообщении #883907 писал(а):

shkolnik в сообщении #883838 писал(а):

Обычно, если невозможно указать, чем отличаются множества, привести элемент, который есть в одном множестве, но нет в другом, множестве считаются равномощными

Ну точно ж — юмор!

Тоже не смешно.
Аксиома объемности:
$\forall a_1,a_2(\forall b(b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1=a_2)$.
"По-русски": "Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству."
Мы говорим, только о равномощности, а не о равенстве. Из равенства следует равномощность, но из равномощности не следует равенство. Это понятно. Так приведите же мне элемент, который есть в одном из элементов множества $X$, но которого нет в одном из элементов множества $\omega$, когда они построены эквивалентно (биективно, если хотите).

[Foxer]

shkolnik в сообщении #883838 писал(а):

Вроде бы, по определению, бесконечность множества, это наличие в нем бесконечного подмножества.

Это нет.

shkolnik в сообщении #883929 писал(а):

По определению, множество называется бесконечным, если оно равномощно некоторому (одному из.., не единственному), своему подмножеству.

Это да.
Проблема первого определения в том, что оно "рекурсивное" вышло.

[shkolnik]

Foxer в сообщении #883959 писал(а):

shkolnik в сообщении #883838 писал(а):

Вроде бы, по определению, бесконечность множества, это наличие в нем бесконечного подмножества.

Это нет.

shkolnik в сообщении #883929 писал(а):

По определению, множество называется бесконечным, если оно равномощно некоторому (одному из.., не единственному), своему подмножеству.

Это да.
Проблема первого определения в том, что оно "рекурсивное" вышло.

Так, Вы мат. логику примените.
Тогда будет понятно, почему из:
1. Имеем бесконечное множество.
2. По определению, множество называется бесконечным, если оно равномощно некоторому (одному из.., не единственному), своему подмножеству.
Вывод: Т.к. множество эквивалентно своему подмножеству, оно бесконечно.
Может быть Вы хотите сказать, что есть множество, эквивалентное своему подмножеству, но , тем не менее, не являющееся бесконечным ?
Покажите его, пожалуйста !

[arseniiv]

(Foxer, да это не единственный здесь ляп. Многогранники вместо многоугольников и ещё что-то было, и $\TeX$ неаккуратный. Если бы код при наведении не показывался, пришлось бы цитировать, чтобы узнать, что там…)

shkolnik в сообщении #883838 писал(а):

Но существует ли в нем бесконечное подмножество ?

Вы забыли добавить «собственное». Да. Ваше $X$ равномощно $\mathbb N$, откуда всё следует.

Вообще же вы не определили $X$ как следует. Принадлежит ли ему элемент $\{(a,a)\}$? Счётным оно, конечно, быть не перестанет в любом случае.

[shkolnik]

arseniiv в сообщении #883979 писал(а):

shkolnik в сообщении #883838 писал(а):

Но существует ли в нем бесконечное подмножество ?

Да. Ваше $X$ равномощно $\mathbb N$, откуда всё следует.

Т.е. в $X$ существует элемент, $$(x,\varnothing)$, где $x$ - "конечный" элемент бесконечного множества $\mathbb N$?
В том то и вопрос, Вы можете предъявить явно этот элемент, или доказать, что он "чисто" существует ?

arseniiv в сообщении #883979 писал(а):

Вообще же вы не определили $X$ как следует.

$X$ это объединение упорядоченных пар $(a,b), (b,c), (c,d),(d,…)…$, где $a=\{\varnothing\}, b=a \cup \{a\},…$.

arseniiv в сообщении #883979 писал(а):

Принадлежит ли ему элемент $\{(a,a)\}$ ?

Допустим.
Допустим, что нет. Это что-то меняет ? Рассмотрите оба случая.

arseniiv в сообщении #883979 писал(а):

Счётным оно, конечно, быть не перестанет в любом случае.

Если неупорядоченное множество, может быть счетным, спорить не буду. Только покажите, как занумеровать множество, которое нельзя вполне, линейно, упорядочить (по определению, построению, транзитивность не выполняется) ?

[arseniiv]

shkolnik в сообщении #884033 писал(а):

Т.е. в $X$ существует элемент, $$(x,\varnothing)$

(1) Он для бесконечности $X$ не нужен.
(2) Судя по вашему определению $X$, его там нет.

shkolnik в сообщении #884033 писал(а):

$X$ это объединение упорядоченных пар $(a,b), (b,c), (c,d),(d,…)…$, где $a=\{\varnothing\}, b=a \cup \{a\},…$.

Вы же писали выше, что $X$ — это $\{\{(a,b),(b,a)\},\{(a,b),(b,c),(c,a)\},\{(a,b),(b,c),(c,d),(d,a)\},\ldots\}$. Это не то же самое. Кстати, предлагаю не париться и писать 0, 1, 2, 3, … вместо букв.

shkolnik в сообщении #884033 писал(а):

Допустим, что нет. Это что-то меняет ? Рассмотрите оба случая.

arseniiv в сообщении #883979 писал(а):

Счётным оно, конечно, быть не перестанет в любом случае.

Изоморфизм выписывается явно — ничто не мешает вам его найти.

shkolnik в сообщении #884033 писал(а):

Если неупорядоченное множество, может быть счетным, спорить не буду.

Что вы имеете в виду под неупорядоченным множеством? Грубо говоря, все множества неупорядочены, порядок их элементов описывается другим множеством, отношением порядка (для каждого интересующего множества отдельным).

shkolnik в сообщении #884033 писал(а):

Только покажите, как занумеровать множество, которое нельзя вполне, линейно, упорядочить (по определению, построению, транзитивность не выполняется) ?

Это какая-то бессмыслица. Как и, кстати, конец вашего начального сообщения. Попробуйте ещё раз.

[shkolnik]

arseniiv в сообщении #884040 писал(а):

Вы же писали выше, что $X$ — это $\{\{(a,b),(b,a)\},\{(a,b),(b,c),(c,a)\},\{(a,b),(b,c),(c,d),(d,a)\},\ldots\}$. Кстати, предлагаю не париться и писать 0, 1, 2, 3, … вместо букв.

А, понял, Вас смущает, что в $X$ есть все простые циклы из упорядоченных пар, но нет "конечной" пары. Ну, так, что ? Добавим каждую "конечную" пару в множество всех простых циклов, т.е. в $X$. Это же ничего не меняет.

arseniiv в сообщении #884040 писал(а):

Что вы имеете в виду под неупорядоченным множеством?

Гм… Множество, на элементах которых транзитивность не выполняется, т.е. $(A>B \land B>C) \to (A>C)$ - ложно. По определению (построению), простых циклов в графах.
Это же очевидно.

arseniiv в сообщении #884040 писал(а):

Грубо говоря, все множества неупорядочены, порядок их элементов описывается другим множеством, отношением порядка (для каждого интересующего множества отдельным).

Так, Вы мне приведите пример счетного бесконечного множества, с отношением порядка, которое "описывает" (не очень понятный термин) бесконечное множество, на котором порядка (в строгом смысле транзитивности) нет и быть не может, по изначальному определению.

(Оффтоп)

Извините, за эмоциональность и ошибки в оформлении первичных формул, постил, сразу после спора с другом.

[Xaositect]

shkolnik в сообщении #884047 писал(а):

А, понял, Вас смущает, что в $X$ есть все простые циклы из упорядоченных пар, но нет "конечной" пары.

Нет, нас смущает, что Вы не говорите точно, как Вы определяете $X$. Все таки, элементы $X$ - это пары $(n, n\cup \{n\})$ или какие-то графы?

shkolnik в сообщении #884047 писал(а):

Так, Вы мне приведите пример счетного бесконечного множества, с отношением порядка, которое "описывает" (не очень понятный термин) бесконечное множество, на котором порядка (в строгом смысле транзитивности) нет и быть не может, по изначальному определению.

В ZFC любое множество можно вполне упорядочить. Что значит "порядка не может быть по определению"?

[arseniiv]

shkolnik в сообщении #884047 писал(а):

Так, Вы мне приведите пример счетного бесконечного множества, с отношением порядка, которое "описывает" (не очень понятный термин) бесконечное множество, на котором порядка (в строгом смысле транзитивности) нет и быть не может, по изначальному определению.

$\mathbb N$ и $\leqslant$. Само по себе $\mathbb N$ никаких указаний, что 4 идёт раньше 13, не содержит. Имея $\mathbb N$, мы можем только сказать, принадлежит или не принадлежит ему что-нибудь (и принадлежит или не принадлежит оно само чему-нибудь, но это тут ни при чём). Неупорядоченность не фигурирует в определении множества, но и упорядоченность тоже. «Определением» множества вообще можно считать только все аксиомы теории множеств целиком, и то это будет правильнее назвать определением $\in$.

shkolnik в сообщении #884047 писал(а):

Гм… Множество, на элементах которых транзитивность не выполняется, т.е. $(A>B \land B>C) \to (A>C)$ - ложно. По определению (построению), простых циклов в графах.
Это же очевидно.

Существуют много неравных отношений порядка. Какое вы имеете в виду под $>$? Далее, этому вашему множеству принадлежат $A,B,C$ или пары из них, или какие-то ещё функции от них? В текущем виде это как определение не годится. К тому же, совершенно не видно, с чего бы что-то такое должно быть связано с бесконечностью множества.

shkolnik в сообщении #884047 писал(а):

А, понял, Вас смущает, что в $X$ есть все простые циклы из упорядоченных пар, но нет "конечной" пары. Ну, так, что ? Добавим каждую "конечную" пару в множество всех простых циклов, т.е. в $X$. Это же ничего не меняет.

Давайте вы будете писать, что именно вы добавляете в множество, вместо слов. Введу все нужные определения за вас, но если они не те, вы сами всё опишете так же аккуратно:
$C_n = \{ (k,k+1) : k\in\mathbb N\wedge k < n \} \cup \{(n,1)\}$ — простой цикл длины $n$.
$X = \{ C_n : n\in\mathbb N\wedge n \geqslant2 \} \cup \mathbb N^2$.
Так?

Даже если $X$ таково, оно всё равно счётно как объединение двух счётных множеств. Так что если вы предложите $X$, содержащееся в упомянутом здесь, оно останется счётным (не конечным, т. к. содержит упомянутое мной ещё выше счётное). Так что ваши загвоздки и попытки связать порядок и бесконечность всё-таки не ясны. Может, вы их сформулируете в виде одного конкретного вопроса?

-- Вс июл 06, 2014 00:55:06 --

Да, и примем здесь, что $0\notin\mathbb N$. Если нужно с нулём, будем писать $\mathbb N_0$. Они равномощны очевидным образом. И будем считать, что аксиома бесконечности (если она в том виде, что говорит о существовании единственного множества; у неё есть другие формулировки) постулирует существование именно $\mathbb N_0$.

[shkolnik]

arseniiv в сообщении #884320 писал(а):

Неупорядоченность не фигурирует в определении множества, но и упорядоченность тоже. «Определением» множества вообще можно считать только все аксиомы теории множеств целиком, и то это будет правильнее назвать определением $\in$.

Xaositect в сообщении #884049 писал(а):

В ZFC любое множество можно вполне упорядочить. Что значит "порядка не может быть по определению"?

Я понимаю это так. Отношение $\in$ не является отношением порядка, поэтому все множества "изначально" никак не упорядочены.
Но, каждое множество можно вполне упорядочить. Последнее, мне непонятно. Точнее непонятно, почему это правило распространятся на те множества, которые уже упорядочено иначе, чем линейно.
Например,

arseniiv в сообщении #884320 писал(а):

Какое вы имеете в виду под $>$? Далее, этому вашему множеству принадлежат $A,B,C$ или пары из них, или какие-то ещё функции от них?

Допустим, $T=\{A,B,C\}$ - это множество вершин треугольника, а $>$ - это отношение "завидовать": $A$ завидует $B$, которое завидует $C$, которое завидует $A$, т.е. $(A>B), (B>C), (C>A)$. В виде множества пар (ребер): $\{(A,B), (B,C),(C,A)\}$. Это множество состоит из трех элементов, порядка на котором пока нет. Упорядочить, значит ввести какое-то отношение порядка.
Допустим, мы захотели ввести линейный порядок.
Для этого нужно выбрать, какая из вершин треугольника будет первой, какая второй, какая третьей. Как это сделать, если все три вершины эквивалентны (неразличимы) ? Выбор одной разрушает "симметрию", изначальное условие об эквивалентности вершин. По крайне мере одна становится не эквивалентной, выделенной.
Т.е. чтобы упорядочить множество $\{(A,B), (B,C),(C,A)\}$, нужно, ввести линейный порядок и на множестве $\{A,B,C\}$. Но это нарушает само определение треугольника. Т.к. мы изначально определили, что $(A>B), (B>C), (C>A)$, т.е. линейного порядка на вершинах треугольника нет.
По моему, треугольник и незамкнутая ломаная – это разные множества точек, хотя, как множества они обозначаются одинаково: $\{A,B,C\}$. Наверно, именно потому, что порядок на них разный.
У них есть какое-то свойство (я назвал его "замкнутость"), которое их различает, которое теряется, если мы "насильственно" переопределяем порядок на точках.
Т.е. множество на котором верно $(A>B), (B>C), (C>A)$ (треугольник), не тоже множество, на котором одно из выражений в скобках ложно (ломаная из трех точек).
Соответственно, некоторые выводы о свойствах треугольников, которые делаются на основании их, якобы, изоморфизма (в смысле порядка) с ломаной из трех точек, должны быть неверны или их просто нельзя сделать.

arseniiv в сообщении #884040 писал(а):

Кстати, предлагаю не париться и писать 0, 1, 2, 3, … вместо букв.

Не пойдет, на буквах нет изначального линейного порядка, заложенного в цифрах. Это как делать выводы о свойствах треугольника на основе ломаных из трех точек.

Цитата:

Так что ваши загвоздки и попытки связать порядок и бесконечность всё-таки не ясны. Может, вы их сформулируете в виде одного конкретного вопроса?

Т.к. я пока не знаю, как определить мыслимое мной бесконечное множество $X$ не применяя $\mathbb{N}$, пусть это будет:
$C_n = \{ (k,k+1) : k\in\mathbb N\wedge k < n \} \cup \{(n,1)\}$ — простой цикл длины $n$.
$X = \{C_n : n\in\mathbb N\}$
Своими словами, я имею в виду множество, состоящее из вершин многоугольника, аппроксимирующего окружность при устремлении числа вершин к бесконечности.
Т.е. число вершин бесконечно и при этом для каждого элемента множества $X$ линейный порядок не выполнен. Т.е. для любой вершины $A$, верно, что существует вершина $A>B$ и вершина $C>A$. Это множество вершин нельзя упорядочить линейно, иначе будет "разрыв", так же, как при попытке упорядочить линейно вершины треугольника, он превращается в ломаную.

Заморочки со счетностью и упорядоченностью у меня связаны со следующим.
Проверить на счетность линейно не упорядоченное конечное множество (то же множество вершин треугольника) можно, т.к. всегда найдется элемент, на котором линейный порядок нарушается, место "склейки" ребер ломаной.
Но как проверить на счетность неупорядоченное бесконечное множество (многоугольник с бесконечным числом вершин), ведь там до места склейки невозможно добраться при попытке линейного упорядочения и в то же время, оно существует, по определению, многоугольника (он "замкнут").
Т.е. получается, что использованных для его построения ребер не более чем счетное количество, однако там всегда существует "бесконечное" ребро, "место склейки" которого, нет и не может быть в $\mathbb N$.
Казалось бы можно всегда добавлять и добавлять ребра к ломаной, чтобы обеспечить их 1-1 соответствие с многоугольником. Но также совершенно очевидно, что в многоугольнике всегда есть лишнее ребро, которого нет и не может быть в ломаной. Как его посчитать ?

[Xaositect]

Так, а Вы определение счетности знаете? Там никакого порядка на множестве не требуется.

shkolnik в сообщении #885467 писал(а):

Т.к. я пока не знаю, как определить мыслимое мной бесконечное множество $X$ не применяя $\mathbb{N}$, пусть это будет:
$C_n = \{ (k,k+1) : k\in\mathbb N\wedge k < n \} \cup \{(n,1)\}$ — простой цикл длины $n$.
$X = \{C_n : n\in\mathbb N\}$

Вы сейчас написали, что $X$ - это множество всех "простых циклов" натуральной длины. Это множество очевидно счетно, потому как мы просто можем сопоставить каждому натуральному числу $n$ простой цикл длины $n$, и это будет взаимно однозначное отображение.

[arseniiv]

shkolnik в сообщении #885467 писал(а):

Я понимаю это так. Отношение $\in$ не является отношением порядка, поэтому все множества "изначально" никак не упорядочены.

Эти вещи — вполне упорядочиваемость множеств и то, что $\in$ — не линейный порядок на классе всех множеств — не связаны друг с другом. Вполне упорядочеваемость любого множества (теорема Цермело) эквивалентна аксиоме выбора и из ZF не следует, так что вводится отдельно (и мы получаем ZFC). «Непорядочность» $\in$, неизменная и в ZF, и в ZFC, стало быть, никак теоремы Цермело не влечёт и сама из неё не следует (если я был не совсем точен здесь, принцип доказательства этого должен остаться верным).

shkolnik в сообщении #885467 писал(а):

Но, каждое множество можно вполне упорядочить. Последнее, мне непонятно.

Теперь, может, прояснится, т. к. в ZF не обязательно. Хотя конечные и счётные всегда, а вы и тут сомневаетесь. Если до завтра ничего интересного не случится, попробую придумать иллюстрацию.

shkolnik в сообщении #885467 писал(а):

Допустим, мы захотели ввести линейный порядок.
Для этого нужно выбрать, какая из вершин треугольника будет первой, какая второй, какая третьей. Как это сделать, если все три вершины эквивалентны (неразличимы) ? Выбор одной разрушает "симметрию", изначальное условие об эквивалентности вершин. По крайне мере одна становится не эквивалентной, выделенной.

Во-первых, они не равны друг другу (надеюсь, ваш треугольник — невырожденный), а все отношения эквивалентности — это уже отдельные вещи, никак в конкретное множество из трёх элементов не зашитые. Во-вторых, треугольник не испортится от того, что мы отдельно рассматриваем какое-то отношение порядка на нём. Можете «введение» порядка рассматривать под другим углом — как проверку, а является ли рассматриваемое нами какое-то отношение на этом треугольнике отношением линейного порядка. Когда мы проверяем, является ли треугольник остроугольным или неостроугольным, с ним ведь ничего не происходит? Тут то же. Более того, мы можем рассматривать сразу много разных отношений порядка над одним и тем же $A$ — это же подмножества (декартового квадрата $A$), кто запретит смотреть на разные подмножества чего-нибудь?

Никакие «симметрии» не нарушаются, потому что, если мы доказали что-то про все четырёхугольники, это останется верным и для всех квадратов, это обычное поведение импликации $A\to B\vdash A\wedge X\to B$, которым пронизана вся математика.

Далее ещё одна проба:

shkolnik в сообщении #885467 писал(а):

Упорядочить, значит ввести какое-то отношение порядка.

Заметьте, «[вставьте нужное]* упорядоченное множество» — это уже $(A,R)$, где $R$ — отношение [вставьте нужное] порядка, так что упорядочить — значит сопоставить $A$ какое-то из возможных $(A,R)$. $A$ — это даже не то же самое что $(A,\varnothing)$, так что это вещи «разного типа» (под этим можно понимать, например, что всегда birthday $A$ — ординал, строго меньший birthday $(A,R)$).

И один [вставьте нужное] порядок на $A$ не обязан и не может быть естественным образом лучше другого [вставьте нужное] порядка на $A$ — любые условия на совместимость его с чем-нибудь — отдельны. Так что нет никакой беды взять то или иное $R$, если не важно какое, и любое конечное или счётное множество можно вполне упорядочить просто и легко, используя определения конечности и счётности. А дальше или они станут сразу же вполне упорядочиваемыми (это значит всего-то, что есть отношение с соответствующими свойствами, не более), или надо отказаться от каких-то определений или аксиом ZF, или, на худой конец, от транзитивности импликации. Но это уже совсем плохо.

* «[вставьте нужное]» — везде одно и то же, и подставляется вместо него «линейный нестрогий», «частичный строгий» и т. п..

P. S. Такая гора написана, потому что не уверен, что из этого сработает, а что нет.

[shkolnik]

Xaositect в сообщении #885485 писал(а):

Так, а Вы определение счетности знаете?

Счетным называется множество, мощность которого меньше или равна $\omega$, (если равна, то оно называется счетно-бесконечным), где $\omega$ - минимальное индуктивное множество.

Xaositect в сообщении #885485 писал(а):

Там никакого порядка на множестве не требуется.

$\omega$ - ординал, т.е. оно само транзитивно и транзитивен каждый его элемент. Отношение $\in$ - отношение строго линейного порядка, на ординалах.
Я не понимаю, как можно судить о мощности бесконечного множества, которое нельзя вполне (хотя бы линейно) упорядочить.
В той же теореме о счетности множества рациональных чисел, явно используется факт линейной упорядоченности $\mathbb Q$.
В моем понимании, бесконечные множества можно разделить на счетные и несчетные. Из счетности множества с необходимостью следует, что оно вполне упорядочено (является ординалом), но из вполне упорядоченности множества, еще не следует его счетность.
Счетные обязательно вполне упорядочены. А несчетные или вполне упорядочены (но их мощность превышает $\mathbb N$) или же они неупорядочены вполне (или хотя бы линейно), соответственно, их мощность не определить.

Xaositect в сообщении #885485 писал(а):

Вы сейчас написали, что $X$ - это множество всех "простых циклов" натуральной длины. Это множество очевидно счетно, потому как мы просто можем сопоставить каждому натуральному числу $n$ простой цикл длины $n$, и это будет взаимно однозначное отображение.

Значит, я неправильно определил множество $X$. Возможно, потому, что использовал цифры (в которые уже заложен линейный порядок), а может потому, что в этом множестве нет нужного элемента – цепи, цикла, длинна которого бесконечна.
Все его элементы конечны, я же с первого сообщения говорю о простой бесконечной цепи. В множестве $X$ есть только одна, простая бесконечная цепь, а не бесконечное множество конечных. Геометрически, мне кажется, описал довольно подробно: бесконечный граф в виде многоугольника, аппроксимирующий окружность (число вершин и ребер бесконечно и составляет цикл).
Я просто не соображу, как это записать формально.

arseniiv в сообщении #885588 писал(а):

Эти вещи — вполне упорядочиваемость множеств и то, что $\in$ — не линейный порядок на классе всех множеств — не связаны друг с другом. Вполне упорядочеваемость любого множества (теорема Цермело) эквивалентна аксиоме выбора и из ZF не следует, так что вводится отдельно (и мы получаем ZFC). «Непорядочность» $\in$, неизменная и в ZF, и в ZFC, стало быть, никак теоремы Цермело не влечёт и сама из неё не следует (если я был не совсем точен здесь, принцип доказательства этого должен остаться верным).

А разве эта аксиома (теорема) не есть эта самая "связь" ?
На мой взгляд, именно необходимость вполне упорядоченности любых множеств, для рассуждения об их мощности, побудила ее придумать и принять.
Но, разве она "ребенка не выплескивает" ? Ведь отметается целый класс множеств, которые не являются линейно (вполне) упорядоченным, например, тот же бесконечный простой цикл, о котором я говорю ?

arseniiv в сообщении #885588 писал(а):

Теперь, может, прояснится, т. к. в ZF не обязательно. Хотя конечные и счётные всегда, а вы и тут сомневаетесь.

Я не сомневаюсь в счетности конечных множеств. Но не потому, что их все можно вполне упорядочить, а потому, что можно различить (занумеровать) все элементы и всегда найти тот, на котором нарушается порядок (транзитивность). Т.е. именно отрицательный результат при попытке установить полный порядок (биекцию) между неупорядоченным линейно множеством и некоторым подмножеством $\mathbb N$ позволяет определить его мощность. Например, мы нумеруем вершины треугольника или его ребра и проверяем для каждого транзитивность (по всем предыдущим элементам). На каком элементе $\mathbb N$ транзитивность нарушается, тот и определяет его мощность.
В случае бесконечного неупорядоченного множества, например, простого бесконечного цикла, такого элемента в $\mathbb N$ нет. А в $X$ он есть (это же цикл).

arseniiv в сообщении #885588 писал(а):

Во-вторых, треугольник не испортится от того, что мы отдельно рассматриваем какое-то отношение порядка на нём. Можете «введение» порядка рассматривать под другим углом — как проверку, а является ли рассматриваемое нами какое-то отношение на этом треугольнике отношением линейного порядка. Когда мы проверяем, является ли треугольник остроугольным или неостроугольным, с ним ведь ничего не происходит? Тут то же. Более того, мы можем рассматривать сразу много разных отношений порядка над одним и тем же $A$ — это же подмножества (декартового квадрата $A$), кто запретит смотреть на разные подмножества чего-нибудь?

Никто.
Но, если мы говорим об уже определенным образом упорядоченном множестве (например, не транзитивно, как в случае цикла), то рассуждать о свойствах именно этого множества в категориях другого множества (упорядоченного, по другому) нельзя. Или можно в каких-то частных случаях.
Так, же, как теория, где постулируется, что все треугольники можно свести к остроугольным, или где все треугольники можно свести к ломаным, мне представляется странной.

arseniiv в сообщении #885588 писал(а):

А дальше или они станут сразу же вполне упорядочиваемыми (это значит всего-то, что есть отношение с соответствующими свойствами, не более), или надо отказаться от каких-то определений или аксиом ZF, или, на худой конец, от транзитивности импликации. Но это уже совсем плохо.

Не представляю, к каким последствиям ведет отказ от транзитивности импликации
От аксиом ZF отказываться не надо, выше Вы сами утверждали, что в ней нет аксиомы (теоремы) о том, что любое множество можно вполне упорядочить (без потери некоторых свойств исходного множества) ?

arseniiv в сообщении #885588 писал(а):

P. S. Такая гора написана, потому что не уверен, что из этого сработает, а что нет.

Спасибо ! Все-таки кое в чем я разобрался. Кажется причина в разных взглядах на эквивалентность свойств уже каким-то образом упорядоченных множеств. Т.е. множеству, на котором пока никакого порядка не введено, есть только голое $\in$, конечно все - равно, какое отношение порядка мы на нем будем рассматривать. Но каждый раз это будет уже не просто "голое" множество, а определенным способом упорядоченное.
Непонятки остаются в связи с тем, как можно утверждать сводимость всех свойств по разному упорядоченных множеств к какому-то одному линейному порядку (к ординалам) ?