Задача о существовании полей из 4-ёх и 6-ти элементов.

[nou]

Задача 4. Существует ли поле из:
a) 4-ёх элементов?
б) 6-ти элементов?
Решение:
a)Положим, что поле из 4-ёх элементов существует. Пусть, ради удобства, это поле - поле $L$.
Понятно, что $0,1\in L$. Но так как поле состоит из 4-ёх элементов, то $a,a+1\in L$.
Так как в поле определены операции сложения и умножения, к каждому элементу есть противоположный и обратный, то можно прийти к следующему.
1.$1+1=0$, $a+a=0\forall a\in L\Rightarrow a+(a+1)=(a+1)+a=1, 1+(a+1)=(a+1)+1=a$ ($char L=2$)

2.$a^2=(a+1) , a(a+1)=(a+1)a=a^2+a=(a+1)+a=1$
$(a+1)^2=a^2+a+(a+1)=(a+1)+(a+1)+a=a$
1. и 2. не противоречат аксиомам поля.
Далее можно показать, что все аксиомы поля будут выполняться.
Таким образом, поле из 4-ёх элементов существует.
б)Положим, что поле из 6-ти элементов существует. Пусть, ради удобства, это поле - поле $K$.Понятно, что $0,1\in K$. Но так как поле состоит из 6-ти элементов, то $a,a+1,b,b+1\in K$.
Так как в поле определены операции сложения и умножения, к каждому элементу есть противоположный и обратный, то можно прийти к следующему.
В поле $K$:
1.$1+1=0$, $a+a=0\forall a\in K\Rightarrow a+(a+1)=(a+1)+a=1, 1+(a+1)=(a+1)+1=a$ ($char K=2$)
$a+b=b+a=1$
2.К примеру:
$a^2=b, b^2=a\Rightarrow a(a+1)=(a+1)a=a^2+a=b+a=1$
$ab=ba=a+1\Rightarrow a(b+1)=(b+1)a=ba+a=(a+1)+a=1$
$a+1=b+1$ - противоречие.
Мы получим, либо противоречие такое как в пункте 2., либо не выполнение аксиом поля.
Таким образом шестиэлементного поля не существует.

[VladimirKr]

Почему Вы решили что Ваше предполагаемое поле из 6-ти элементов должно иметь характеристику 2?

Конечно,

Цитата:

Ну, попытка не пытка. Пусть попробует.

Но это негуманно по отношению к ТС. Зачем сбивать с толку, это ведь приводит к неэффективной трате времени, сил и энтузиазма?

К автору топика:
А существует ли поле из $2^8$ элементов?
А почему не существует поле из 100 элементов?
Да и вообще, почему в конечном поле количество элементов может быть только степень простого числа?

Вообщем, имхо, чтобы ответить на эти вопросы нужно для начала освоить несложные вещи.
1. Изучить начала теории конечных групп, хотя бы до теоремы Лагранжа.
2. Изучить свойства деления с остатком в целых числах, вычеты до Китайской теоремы об остатках и малой теоремы Ферма.

Ответ на вопрос о том, что для любой степени простого существует поле из такого числа элементов, потребует следующих знаний:
1. Кольца многочленов, деление многочленов с остатком, вычеты в кольцах многочленов.
2. Линейные пространства, линейная независимость систем векторов, а это значит матрицы и их ранги, а это определитель матрицы, требующий знания начала теории групп подстановок и т. д. и т. п.

Это все красивые и простые вещи, если с ними знакомится по-порядку. Иначе упражнения, которыми Вы занимаетесь, не принесут новых знаний и умений.

[Foxer]

VladimirKr, полегче, он еще школьник, см. его предыдущий топик.

VladimirKr в сообщении #883100 писал(а):

Ответ на вопрос о том, что для любой степени простого существует поле из такого числа элементов

Оставьте это на университет. Утверждение отнюдь не очевидно.

С VladimirKr соглашусь лишь в одном. Изучение алегбры лучше начать не с полей, а с групп и линейных пространств (на сколько я помню, Винберг сразу не кидается доказывать существование полей из $p^n$ элементов =) ).

nou, коли Вы доказщываете очевидные вещи, не очень ясно, что вы знаете, а что нет. Например про поле из $6$-ти элементов сразу легко сказать, что его быть не может, ибо на поле можно посмотреть как на векторное пространство размерности $n$ над $\mathbb{Z}_p$. $p$ - простое, возникает из характеристики.

Так то доказательства правильные, но опять же громоздкие). Это нормально по началу.

-- 02.07.2014, 12:30 --

VladimirKr, коли так хочется пощеголять знаниями теории групп - решите уж мою задачку.

[VladimirKr]

Цитата:

Так то доказательства правильные, но опять же громоздкие). Это нормально по началу.

Доказательство того, что нет поля из 6-ти элементов, безосновательно базируется на предположении, что характеристика поля равна 2.
Это логическая ошибка.

[Foxer]

VladimirKr в сообщении #883113 писал(а):

Доказательство того, что нет поля из 6-ти элементов, безосновательно базируется на предположении, что характеристика поля равна 2.
Это логическая ошибка.

То есть Вы реально не верите, что он сможет аналогичным способом перебрать характеристику $3$?

[Mathusic]

Foxer в сообщении #883121 писал(а):

То есть Вы реально не верите, что он сможет аналогичным способом перебрать характеристику $3$?

Только сначала нужно будет сказать, почему берем именно эту характеристику, и все равно не все так гладко будет.
Просто как доказывать? Предполагая, что ТС не должен знать ничего, кроме определения поля и т.д..? Но тут смотрим, он уже использует понятие характеристики.
Тогда, да, лучше, действительно, ознакомиться с последовательной теорией, или хотя бы ознакомиться поглубже, решать задачи целенаправленно на освоение понятий группа, поле и т.д.
Хотя это тоже полезно, наверно, просто непонятно, тогда: что-то используется, что-то нет, странно просто. Характеристика поля упоминается. Не доказывается ее свойств. Теорема Лагранжа, наверное, неявно используется, не упоминается и т.д.

[nnosipov]

VladimirKr в сообщении #883100 писал(а):

Но это негуманно по отношению к ТС. Зачем сбивать с толку, это ведь приводит к неэффективной трате времени, сил и энтузиазма?

И в чём негуманность? С какого именно толку эта задача сбивает и почему?

[VladimirKr]

nnosipov в сообщении #883174 писал(а):

VladimirKr в сообщении #883100 писал(а):

Но это негуманно по отношению к ТС. Зачем сбивать с толку, это ведь приводит к неэффективной трате времени, сил и энтузиазма?

И в чём негуманность? С какого именно толку эта задача сбивает и почему?

Во многих учебниках определения групп, полей колец даются в начале книги, тут же и примеры и простейшие задачи. А уж потом каждое понятие рассматривается глубже. Мне кажется, nou сейчас в начале такой книжки.
Мне кажется, самое простое решение сводится к тому , что нужно доказать что 3 и 2 являются делителями 0. Для этого нужно знать хотя бы теорему Лагранжа и свойства порядков элементов конечной группы. Мне кажется, nou с этими понятиями еще не знаком.

[nnosipov]

VladimirKr в сообщении #883188 писал(а):

Мне кажется, nou сейчас в начале такой книжки.

Так ведь и задача для самого начала --- как только узнали определения группы, кольца, поля.

VladimirKr в сообщении #883188 писал(а):

Мне кажется, самое простое решение сводится к тому , что нужно доказать что 3 и 2 являются делителями 0. Для этого нужно знать хотя бы теорему Лагранжа и свойства порядков элементов конечной группы.

А мне кажется, что можно обойтись и без всего этого. И если ТС-у удастся это сделать, ничего предосудительного в этом не будет. Наоборот, приобретёт первоначальные навыки работы с абстрактными понятиями. Все эти теоремы Лагранжа и прочие характеристики, а также поля из $2^8$ элементов он узнает в обязательном порядке, когда станет студентом.

[nou]

б)Существует ли поле из 6-ти элементов?
Положим, что поле из 6-ти элементов существует.Пусть, ради удобства, это поле - поле $K$.Понятно, что $0,1\in K$Так как поле состоит из 6-ти элементов, то $a,b,c,d\in K$.
Так как в поле определено умножение, которое коммутативно и ассоциативно, все ненулевые элементы поля обратимы, то можно построить такую табличку умножения.

$$ \begin{array}{c|cccccc} \times &0 &1 &a &b &c &d \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ 1 & 0 & 1 & a & b & c & d & \ a & 0 & a & d & c & 1 & b & \ b & 0 & b & c & a & d & 1 & \ c & 0 & c & 1 & d & b & a & \ d & 0 & d & b & 1 & a & c & \ \end{array} $$

Рассмотрим три варианта:
(Используем дистрибутивность умножения относительно сложения.)
$1$: $a+b=0$
$(a+b)a=a^2+ba=d+c=0\cdot a=0$
$(a+b)b=ab+b^2=c+a=0\cdot b=0$
Противоречие, так как противоположный элемент единственен.
$2$: $a+b=1$
$(a+b)a=a^2+ba=d+c=1\cdot a=a$
$(a+b)b=ab+b^2=c+a=1\cdot b=b$
$(a+b)c=ac+bc=1+d=1\cdot c =c$
$(a+b)d=ad+bd=b+1=1\cdot d=d$
$c=1+d, d=b+1\Rightarrow c=1+(b+1)$
$c=1+(b+1), b=c+a\Rightarrow 1+(a+1)=0\Rightarrow 1+1\ne 0, a+1\ne 0$
$a+1\ne 0 , a+0\ne 0, a+c\ne 0, a+b\ne 0$
Если $a+d=0$, то $d=b+1\Rightarrow (a+b)+1=0\Rightarrow 1+1=0$
Противоречие.
Если $a+a=0$, то $(a+a)c=ac+ac=1+1=0\cdot c=0$
Противоречие.
$3$: $a+b=c$ ($a+b=d$-аналогичен)
$(a+b)a=a^2+ba=d+c=c\cdot a=1$
$(a+b)b=ab+b^2=c+a=c\cdot b=d$
$(a+b)c=ac+bc=1+d=c\cdot c=b$
$(a+b)d=ad+bd=b+1=c\cdot d=a$
$d+c=1, d=c+a\Rightarrow (c+a)+c=1\Rightarrow c+c\ne 0, c+a\ne 0$
$c+0\ne 0$, $d+c=1\Rightarrow c+d\ne 0$
Если $b+c=0$, то возвращаемся к пункту $1$.Противоречие.
Если $c+1=0$, то $d=c+a, a=b+1\Rightarrow d=c+(b+1)=(c+1)+b=0+b=b$
Противоречие.
Таким образом, поле из 6-ти элементов не существует.

[takeover]

nou
Ну нет же, вы рассмотрели конкрентную таблицу умножения, но не показали, что других нет.
Вообще, рано вам пока решать такие задачи, есть теорема о числе элемнтов в конечном поле, но для этого нужно сперва изучить линейную независимость,базис в линейном пространстве и расширения полей. Не зацикливайтесь на одной задаче. Не решили сейчас - решите потом, когда нужный аппарат будет.
Хотя, конечно эту задачу можно решить в лоб, перебирая таблички. Но что если вас спросят о поле из 8 элементов? Из 1024? Тут подобный перебор уже не сработает.