Несобственный интеграл VS Wolfram Mathematica

[Jukier]

Рассмотрим интеграл:
$\int_0^\infty \frac{1-e^{-x}}{x} \cos{x} \ \mathrm{d}x$.
Если найти его в Wolfram|Alpha, то результат будет: integral does not converge (интеграл не сходится).
Но он сходится по признаку Дирихле (S. C. Malik, Savita Arora "Mathematical analysys" (second edition). 5.2 Tests for Convergence, page 391. "Dirichlet's test."). Более того, несложно получить, что его значение равно $\ln{\sqrt{2}}$.
Я написал в их поддержку, изложил подробно эти соображения, предложил отдельно сосчитать интеграл от 0 до 1 и от 1 до $\infty$ (это Wolfram|Alpha сделать может, если в конце адресной строки дописать &incTime=true), а потом сложить. Но получил ответ:

Цитата:

...our internal development group believes the output given is correct. (...наша внутренняя группа считает, что результат корректен.)

Где ошибка?

[ИСН]

У них, естественно. (Что он сходится - очевидно; значение не проверял, но тоже верю.) Я находил один похожий случай, только в переписку вступать не стал.
Upd. post173072.html

[Vince Diesel]

Ошибка в математике где-то. Такой $\int_0^{-\infty } \frac{\left(1-e^x\right) \cos (x)}{x} \, dx$ она берет.

[mihailm]

$\int_0^1 \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x$ А этот интеграл к чему сходится? Не в тему)

[Jukier]

ИСН, Vince Diesel, спасибо за ответы. Я был уверен, но в связи с ответом их поддержки решил уточнить здесь.

[Seergey]

Jukier в сообщении #881672 писал(а):

несложно получить, что его значение равно $\ln{\sqrt{2}}$

Несложно, это с помощью введения параметров?

$\int_0^\infty \frac{1-e^{-ax}}{x} \cos{bx} \ \mathrm{d}x$

[SpBTimes]

Фруллани можно попробовать

[Ms-dos4]

Интересно. Maple этот интеграл считает, а Mathematica 9 ни в какую (но численно даёт верный ответ).

[Jukier]

Seergey в сообщении #881760 писал(а):

Несложно, это с помощью введения параметров?

$\int_0^\infty \frac{1-e^{-ax}}{x} \cos{bx} \ \mathrm{d}x$

Да. Достаточно параметра у экспоненты. Интеграл сходится равномерно. Дифференцируем по «a», интегрируем по «x» от 0 до \infty, находим первообразную по «a». Определяем константу и вместо параметра «a» подставляем 1.

Ms-dos4 в сообщении #881854 писал(а):

Интересно. Maple этот интеграл считает, а Mathematica 9 ни в какую (но численно даёт верный ответ).

В Wolfram|Alpha расходится, а в Mathematica 9 сходится (раз численно даёт верный результат)?

[Aritaborian]

Нет, Mathematica 9 тоже считает, что расходится (Integrate, аналитически). А численно (NIntegrate) вычисляет верно.

[Jukier]

У кого есть Wolfram Mathematica, попробуйте, пожалуйста, косинус-преобразование Фурье: FourierCosTransform[((1 - e^(-x)) / x), x, 1] (синтаксис, вроде, такой).

[Aritaborian]

Зачем в последней позиции стоит единица, когда там должна быть переменная? FourierCosTransform[((1 - e^(-x))/x), x, t] выдаёт вполне вменяемый результат.

[TelmanStud]

В Mathematica 7

Integrate[(1 - Exp[-x])/x*Cos[x] , {x, 0, \[Infinity]}]

Выдает ответ

Log[2]/2

[Ms-dos4]

TelmanStud
А в девятке на этот же код

Integrate::idiv: "Integral of Cos[x]/x-(E^-x Cos[x])/x does not converge on {0,\[Infinity]}."

Это явный косяк, возможно стоит им написать.

[Jukier]

Aritaborian в сообщении #882068 писал(а):

Зачем в последней позиции стоит единица, когда там должна быть переменная? FourierCosTransform[((1 - e^(-x))/x), x, t] выдаёт вполне вменяемый результат.

Сравните в Mathematica FourierCosTransform[1/Sqrt[x], x, t] и FourierCosTransform[1/Sqrt[x], x, 1]. Переменная быть не должна, а может.

Я прошу вычислить с константой 1, так как Mathematica должна будет вычислить тот же интеграл (в Wolfram|Alpha не хватает отведённого времени).

Ms-dos4 в сообщении #882248 писал(а):

Это явный косяк, возможно стоит им написать.

Я написал им подробно и привел даже ссылку на вышеприведённый учебник. На второе письмо получил только автоматическую отписку с подтверждением получения письма. Но, если есть желание, можете повторить. Их внутренний идентификатор моей переписки: [W|A #487459].