2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Показательные уравнения и неравенства
Сообщение27.06.2014, 18:35 
Аватара пользователя
Здравствуйте, прошу помочь с решением показательных уравнений и неравенств (не буду плодить много тем, тут буду спрашивать только о простых)

$$ |x-3|^{x^2-x} = (x-3)^2 \Longleftrightarrow \left[
\begin{matrix}
x = -1\\
x = 2\\
x = 4
\end{matrix} \right.$$
Автор задачи рассматривает случаи $|x-3| = 1$ и $x^2 - x = 2$, но не рассматривает случай $|x - 3| =0$, т. е. $x=3$. Как по вашему должен выглядеть ответ?

 
 
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение27.06.2014, 18:40 
Qazed в сообщении #880884 писал(а):
но не рассматривает случай $|x - 3| =0$,

Дело в том, что вещественность показателя подразумевает, что речь слева идёт о показательной именно функции. Которая при нулевом основании просто не определена.

 
 
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение27.06.2014, 20:08 
Аватара пользователя
В данном же случае просят решить уравнение, т. е. всё по-честному:
$$0^6 = 0^2$$

 
 
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение28.06.2014, 12:10 
Аватара пользователя
Qazed в сообщении #880918 писал(а):
В данном же случае просят решить уравнение, т. е. всё по-честному:
$$0^6 = 0^2$$

Это философский вопрос. Считаете, что решили правильно - значит автор учебника ошибся, точка.

 
 
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение28.06.2014, 12:31 
Qazed в сообщении #880918 писал(а):
В данном же случае просят решить уравнение, т. е. всё по-честному:
$$0^6 = 0^2$$

Нет, так нечестно. В левой части допускаются показатели отнюдь не только шестёрки, но и произвольные вещественные, и даже (тихий ужас) нулевые. Соответственно, в область допустимых значений уравнения нулевые основания не попадают.

 
 
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение28.06.2014, 22:41 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #881130 писал(а):
Соответственно, в область допустимых значений уравнения нулевые основания не попадают.

Обоснуйте. Вот когда в показателе, скажем, стоит 0 или отрицательное число, то да, в основании одновременно 0 стоять не может. Но когда в показателе стоит целое положительное число, то основание может быть и нулевым. Если в задании не идет речь о показательных функциях, то, я считаю, раз подстановка $x=3$ приводит к верному равенству, значит это решение.

 
 
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение28.06.2014, 23:36 
ShMaxG в сообщении #881535 писал(а):
Если в задании не идет речь о показательных функциях,

Идёт. Просто потому, что показатель вещественен. И, следовательно, задача осмысленна лишь в том случае, если подразумевалась показательная функция.

Хотя... Можно, конечно, в условии задачи перебрать и все возможные случаи, в которых это выражение интерпретируется каким-то специальным образом. Попробуйте задачку переформулировать в этом духе. Трёх страниц Вам на это хватит?...

 
 
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение28.06.2014, 23:42 
Ничего философского, как и показательных функций в уравнении нету. Согласно школьной программе ноль корень.

 
 
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение29.06.2014, 00:23 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #881563 писал(а):
Просто потому, что показатель вещественен. И, следовательно, задача осмысленна лишь в том случае, если подразумевалась показательная функция.

Вот мне и не ясно это "следовательно". Равенство обращается в верное при подстановке значения $x=3$, значит это решение, по определению. При чем тут понятие показательной функции?

Смотрите. Вот есть степень, с основанием и показателем. Показатель может принимать нецелые значения. Отсюда вы делаете вывод, что для осмысленности задачи основание не может быть равно нулю ни в каком случае, даже когда в показателе -- целое число. Другими словами, вы так выбираете область значений основания, чтобы возведение в степень стало возможным при любом значении показателя. Но на мой взгляд, это какое-то дополнительное условие/ограничение, логически оно ниоткуда не следует.

-- Вс июн 29, 2014 01:55:48 --

ewert в сообщении #881563 писал(а):
Можно, конечно, в условии задачи перебрать и все возможные случаи, в которых это выражение интерпретируется каким-то специальным образом. Попробуйте задачку переформулировать в этом духе. Трёх страниц Вам на это хватит?...

Вот область определения функции в левой части, как я ее вижу:
$$\[\left[ \begin{gathered}
  {x^2} - x \in {\mathbb{Z}_ + } \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  {x^2} - x \notin {\mathbb{Z}_ + } \hfill \\
  x \ne 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]$$
При любых таких иксах выражение осмысленно. Действительно, либо мы возводим какое-то число (пусть даже 0) в целую положительную степень (вполне осмысленно), либо в другую степень -- и вот тут-то можно вспомнить про показательную функцию, причем тут все корректно, так как основание не равно нулю.

 
 
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение29.06.2014, 01:54 
ТС, откуда задача?
ewert в сообщении #881563 писал(а):
Идёт. Просто потому, что показатель вещественен. И, следовательно, задача осмысленна лишь в том случае, если подразумевалась показательная функция.
Я уже на примере темы с коммутативностью умножения понял, что на любое дебильное утверждение найдётся (псевдо)корректный способ его обоснования (что более удивительно --- желающий это обоснование делать).

 
 
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение29.06.2014, 16:44 
Аватара пользователя
Спасибо, для себя я решил, что $x = 3$ является решением, несмотря на какую-то «философию» понятия «уравнение»

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group