выборка спичек из двух коробков

[Spook]

Maslov, там только ответ, к тому же при $n=m=1$ получается $\frac{1}{2}$.

-- Пт июн 27, 2014 00:09:32 --

arseniiv в сообщении #880596 писал(а):

Spook в сообщении #880573 писал(а):

Раз речь идет об опустении одного из коробков, то, видимо, всего таких последовательностей $2(2^n-1)$.

Давайте снова на числах. При $n=3$ это 000, 0010, 00110, 0100, 01100, 01010, 1000, 11000, 10100, 10010, 111, 1101, 11001, 1011, 10011, 10101, 0111, 00111, 01011, 01101, что явно не $2(2^3-1) = 14$.

что-то не очень понятно, как Вы составили эти числа, да еще разной длины. Я брал все возможные варианты, которые могут быть при опустошении одного коробка.

[arseniiv]

У меня 0 — взятие из первого, 1 — из второго. Последовательность кончается сразу после опустошения любого. Если продолжать дальше, будет ещё больше. Или имелся в виду не любой, а конкретный?

[Maslov]

Spook в сообщении #880600 писал(а):

Maslov, там только ответ

А если весь раздел "Дискретная вероятность" попробовать почитать?

Цитата:

к тому же при n=m=1 получается $\frac{1}{2}$.

Если Вы внимательно прочитаете условие, то поймете, что там немного другая задача: коробок выбрасывается не в момент опустошения, а при выборе пустого коробка в качестве источника спички. Поэтому и ответ немного другой.

[TOTAL]

Найдите вероятность того, что наступит момент, когда в левом коробке $1$ спичка, а в правом $k$ спичек. Очевидно, она равна $\frac{C_{2n-k-1}^{n-1}}{2^{2n-k-1}}$

[Spook]

arseniiv, я понял, как проще посчитать все последовательности в Вашем примере. Раз всего 2n-k выниманий спичек, а можно вынимать только из двух вариантов, то общее кол-во последовательностей равно $2^{2n-k}$.

-- Пт июн 27, 2014 11:11:21 --

Из такого подсчета сразу можно определить кол-во нужных вариантов, учитывая, что нам нужно ровно $n$ спичек из какого-либо коробка: $2C_{2n-k}^{n}$. Тогда ответом будет число: $\frac{C_{2n-k}^{n}}{2^{2n-k-1}}$.
TOTAL как раз совпадает с Вашим, если спичек не останется и коробки не упорядочивать.

[TOTAL]

Spook в сообщении #880675 писал(а):

Из такого подсчета сразу можно определить кол-во нужных вариантов, учитывая, что нам нужно ровно $n$ спичек из какого-либо коробка: $2C_{2n-k}^{n}$. Тогда ответом будет число: $\frac{C_{2n-k}^{n}}{2^{2n-k-1}}$.
TOTAL как раз совпадает с Вашим, если спичек не останется и коробки не упорядочивать.

Не совпадает.

[Spook]

Maslov, я с Вами согласен, просто я не так определял последовательность и не сразу понял, что определение описанным способом корректно. Я определял так. Пусть 1 - спичка выбрана, 0 -нет. Тогда в коробке, где спичек не осталось, возможна только одна последовательность: 1111...11 (n штук), а в другом возможны все последовательности, кроме опустошения, т.е. $2^n-1$. Так как коробки не упорядочены, то кол-во всех последовательностей будет $2(2^n-1)$. Это же тоже правильно?

-- Пт июн 27, 2014 11:33:43 --

TOTAL в сообщении #880687 писал(а):

Spook в сообщении #880675 писал(а):

Из такого подсчета сразу можно определить кол-во нужных вариантов, учитывая, что нам нужно ровно $n$ спичек из какого-либо коробка: $2C_{2n-k}^{n}$. Тогда ответом будет число: $\frac{C_{2n-k}^{n}}{2^{2n-k-1}}$.
TOTAL как раз совпадает с Вашим, если спичек не останется и коробки не упорядочивать.

Не совпадает.

Всего последовательностей $2^{2n-k-1}$ (k+1 спичек осталось), из них нужно выбрать ровно $n-1$ (чтобы осталась одна спичка), т.е. $C_{2n-k-1}^{n-1}$.

[Henrylee]

Видимо, нагляднее всего представлять варианты выбора спичек в виде траекторий симметричного случайного блуждания. Всего делается $2n-k$ шагов, интересуют траектории, которые на последнем шаге входят в точку $k$ снизу или в точку $-k$ сверху. Всего таких (равновероятных) траекторий $2^{2n-k}$, а подходящих $2C_{2n-k-1}^{n-1}$.

[Spook]

Меня беспокоит вот что. Если один коробок опустел, а в другом что-то осталось, то таких вариантов $2(2^n-1)$. Если один коробок опустел, а в другом осталось ровно k спичек, то таких вариантов $2C_n^{n-k}$. Здесь 1 - спичку достали, 0 - спичка лежит в коробке. Сначала имеем 2n нулей. Вот здесь не могу увидеть ошибку.

[Henrylee]

Spook в сообщении #881715 писал(а):

Меня беспокоит вот что. Если один коробок опустел, а в другом что-то осталось, то таких вариантов $2(2^n-1)$. Если один коробок опустел, а в другом осталось ровно k спичек, то таких вариантов $2C_n^{n-k}$. Здесь 1 - спичку достали, 0 - спичка лежит в коробке. Сначала имеем 2n нулей. Вот здесь не могу увидеть ошибку.

Вы что, трубете, чтобы тянулись только $n$ спичек и все из одной коробки? (судя по предыдущим Вашим двум постам)

-- Вс июн 29, 2014 16:16:31 --

Spook в сообщении #881715 писал(а):

Меня беспокоит вот что. Если один коробок опустел, а в другом что-то осталось, то таких вариантов $2(2^n-1)$.

Почему собственно?

[Spook]

Henrylee, нет. Раз одна пустая, а другая неполная. Раз один коробок пустой, а в другом k спичек, то сколькими вариантами можно получить k спичек из n? $C_n^k$ или, в терминах описанной последовательности, $C_n^{n-k}$. А всего вариантов в непустом коробке $2^n-1$.

-- Вс июн 29, 2014 15:22:01 --

Henrylee писал(а):

Spook писал(а):

Меня беспокоит вот что. Если один коробок опустел, а в другом что-то осталось, то таких вариантов $2(2^n-1)$.

Почему собственно?

Всего вариантов $2^n$ - спичка может быть, либо не быть в одной из n позиций. Но пустой коробок нас не интересует.

[Henrylee]

Я никак не пойму, что Вы называете ''вариантом''. Приведите пример.

[Spook]

Например, один коробок пустой, а в другом 1 спичка. Общий случай: один пустой, а другой - нет.

[Henrylee]

Spook в сообщении #881840 писал(а):

Например, один коробок пустой, а в другом 1 спичка. Общий случай: один пустой, а другой - нет.

А другой вариант - пустой и 2 спички?
Если это Ваши ''варианты'', то они неравновероятны. Какой смысл считать их количество.
И что значит и что значит общий случай? Объединение всех ''вариантов''?

-- Вс июн 29, 2014 16:48:53 --

И что тогда означают Ваши последние слова про позицию одной спички?
До сих пор неясно, чего $2^n$.

[Spook]

Henrylee в сообщении #881847 писал(а):

А другой вариант - пустой и 2 спички?

Да.

Henrylee в сообщении #881847 писал(а):

Если это Ваши ''варианты'', то они неравновероятны. Какой смысл считать их количество.

Естественно, вероятность зависит от k (оставшиеся спички в одном из коробков).

Henrylee в сообщении #881847 писал(а):

И что значит и что значит общий случай? Объединение всех ''вариантов''?

Значит, что вместо 1 или 2 может быть k.

Henrylee в сообщении #881847 писал(а):

И что тогда означают Ваши последние слова про позицию одной спички?
До сих пор неясно, чего $2^n$.

Если считать, что 0 - спичка осталась, а 1 - была вынута, то всего возможных вариантов $2^n-1$ (кроме пустого коробка, т.е. кол-во последовательностей из 0 и 1, кроме n единиц). А второй коробок уже опустел. То есть это кол-во вариантов кол-ва спичек в первом коробке, когда второй опустел.