Преобразование Фурье обобщенной функции

[Vanilin]

Найти преобразование Фурье обобщенной функции $\widehat{\operatorname{\arctg}x}$
Решение:
1.по свойству преобразования Фурье $-x\widehat{\operatorname{\arctg}x}=\widehat{\frac{i}{1+x^2}}$
2.нашел через преобразование Фурье правой части $-x\widehat{\operatorname{\arctg}x}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}ie^{-|x|}$
3.решил неоднородное уравнение $\widehat{\operatorname{\arctg}x}=-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}v.p \frac{e^{-|x|}}{x}+C\delta$
4.доказать единственность можно подействовав на пробную функцию(незнаю думаю что на $e^{x/2}$)
$(\widehat{\operatorname{\arctg}x},e^{x \!\!\not{\phantom{|}}\, 2})=(-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}v.p \frac{e^{-|x|}}{x},e^{x \!\!\not{\phantom{|}}\, 2})+(C\delta,e^{x \!\!\not{\phantom{|}}\, 2})$
Далее получаем $C=(\widehat{\operatorname{\arctg}x},e^{x \!\!\not{\phantom{|}}\, 2})-(-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}v.p \frac{e^{-|x|}}{x},e^{x \!\!\not{\phantom{|}}\, 2})$
и $C=\int\limits_{R}\widehat{\operatorname{\arctg}x}e^{x \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}dx-\int\limits_{R}-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}v.p \frac{e^{-|x|}}{x}e^{x \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}dx$
Подскажите пожалуйста (если выбрал правильно пробную функцию) как решить интегралы( в ответе $C=0$)

[ewert]

Vanilin в сообщении #879819 писал(а):

по свойству преобразования Фурье $-x\widehat{\operatorname{\arctg}x}=\widehat{\frac{i}{1+x^2}}$

Такого свойства быть не может -- запись левой части некорректна.

Vanilin в сообщении #879819 писал(а):

если выбрал правильно пробную функцию

А Вы её и не выбрали. Какая ж она пробная?

Не надо конкретных функций -- возьмите любую чётную и воспользуйтесь нечётностью арктангенса.

[Vanilin]

ewert в сообщении #879828 писал(а):

Vanilin в сообщении #879819
писал(а):
по свойству преобразования Фурье $-x\widehat{\operatorname{\arctg}x}=\widehat{\frac{i}{1+x^2}}$
Такого свойства быть не может -- запись левой части некорректна

Ну вот вроде все корректно $-M\widehat{\operatorname{\arctg}x}=\widehat{D\operatorname{\arctg}x}$ (взял из учебника)где $Mf=xf,Df=if'$

Если с четной функцией то там $C\delta$ обнуляеться нет? Напишите пожалуйста поподробней что вы имели ввиду, просто Вы пишите непростые вещи для меня несколькими словами

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #879834 писал(а):

а я бы этот арктангенс продифференцировал и искал преобразование Фурье от того, что получится

А ТС ровно это и сделал, только не вполне приходя в сознание.

-- Ср июн 25, 2014 18:05:09 --

Vanilin в сообщении #879839 писал(а):

Если с четной функцией то там $C\delta$ обнуляеться нет?

Что будет, если применить преобразование Фурье от нечётной (регулярной) обобщённой функции к чётной пробной?...

Нет, это чуть позже. Что такое вообще преобразование Фурье от обобщённой функции?...

[Vanilin]

ewert в сообщении #879840 писал(а):

Что такое вообще преобразование Фурье от обобщённой функции?

Ну преобразование Фурье для обобщенной функции $f \in D'$ это непрерывный оператор $\widehat{F}$ определяемый так $(\widehat{F}f,g)=(f,\widehat{F}g) $

[ewert]

Vanilin в сообщении #879844 писал(а):

это непрерывный оператор $\widehat{F}$ определяемый так $(\widehat{F}f,g)=(f,\widehat{F}g) $

Прекрасно. И если при этом $g$ -- чётная, то что можно сказать про $\widehat{F}g$ ?...

[Vanilin]

ewert в сообщении #879845 писал(а):

про $\widehat{F}g$

Она будет четной

с арктангенсом так $2\int\limits_{0}^{\infty}\widehat{\operatorname{\arctg}x}\varphi dx$

[ewert]

А если при этом ещё и $f$ нечётная -- что тогда можно сказать про $(f,\widehat{F}g)$ ?...

[Vanilin]

ewert в сообщении #879847 писал(а):

про $(f,\widehat{F}g)$

Она нечтная

[ewert]

Vanilin в сообщении #879852 писал(а):

Она нечтная

Неправильно -- "она" вообще не функция.

[Vanilin]

ewert в сообщении #879853 писал(а):

Неправильно -- "она" вообще не функция

подскажите пожалуйста что с ней будет, в книге не могу найти

-- 25.06.2014, 18:34 --

Вообщем я поэтому и создал тему потому что не понимал что делать с $(\widehat{\operatorname{\arctg}x},\varphi)=(\operatorname{\arctg}x,\widehat{\varphi})$
( я не правильно написал начальную функцию там надо было $e^{\frac{x^2}{2}}$)

[Vanilin]

ewert в сообщении #879847 писал(а):

А если при этом ещё и $f$ нечётная -- что тогда можно сказать про $(f,\widehat{F}g)$ ?...

Я вроде понял тогда $(f,\widehat{F}g)=0$ т.к функция нечетная подинтегралом будет

-- 25.06.2014, 19:05 --

$(-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}v.p \frac{e^{-|x|}}{x},\varphi)=0$т.к функция под интегралом будет нечетной(и интеграл берется по $R$), с $(\widehat{\operatorname{\arctg}x},\varphi)=(\operatorname{\arctg}x,\widehat{\varphi})=0$если $\varphi$ брать четной

[ewert]

Ну да, всюду ноль. И это -- для любой чётной пробной функции. А теперь прикиньте, при какой $C$ такое возможно.

-- Ср июн 25, 2014 20:35:45 --

Vanilin в сообщении #879859 писал(а):

я не правильно написал начальную функцию там надо было $e^{\frac{x^2}{2}}$

Ой не надо было: она -- ещё более непробная.

[Vanilin]

Ну вроде при $C\varphi(0)=0$ то при $C=0$

[ewert]

Да.

Но всё это занудство было бы совершенно ни к чему, если бы у вас в курсе вводилось понятие чётности и нечётности обобщённых функций (и, вполне возможно, и впрямь вводилось, только Вы этого не заметили). Тогда всё тривиально: та дробь есть функция нечётная, дельта-функция -- чётная, в то время как исходный арктангенс нечётен; ну и всё ясно.