Цепная дробь

[niikiitoss]

Какая функция $f(x)$, заданная на множестве натуральных чисел, имеет разложение в цепную дробь $[-1;(x)]$?
Объясните пожалуйста, каков алгоритм решения подобных задач?

[ИСН]

Сверните цепную дробь - и увидите, к чему она сходится.

[niikiitoss]

ИСН в сообщении #879428 писал(а):

Сверните цепную дробь - и увидите, к чему она сходится.

Что значит свернуть? Разве [-1;(x)] он не свёрнута?
$\[{{\vec -1}+\frac{1}{{{{\vec x}}+\frac{1}{{...}}}}\]$

[ИСН]

Свернуть - это значит свернуть к числу. Например, дробь $1\over1+{1\over1+{1\over1+\dots}}$ сворачивается к $\sqrt5-1\over2$. Но Ваше употребление стрелочек приводит меня в замешательство; может быть, речь о чём-то совсем другом?

[niikiitoss]

ИСН в сообщении #879455 писал(а):

Свернуть - это значит свернуть к числу. Например, дробь $1\over1+{1\over1+{1\over1+\dots}}$ сворачивается к $\sqrt5-1\over2$. Но Ваше употребление стрелочек приводит меня в замешательство; может быть, речь о чём-то совсем другом?

Нет, просто я криво оформил формулы, сейчас исправлю. Что-то я не понимаю, как вы свернули эту дробь к числу $\sqrt5-1\over2$. Не могли бы вы более подробно расписать это свертывание?

[Someone]

Ну, пусть $x={1\over1+{1\over1+{1\over1+\dots}}}$. Тогда $x={1\over{1+x}}$… Да, там, конечно, нужно знать, сходится ли эта дробь хоть к чему-нибудь.

[niikiitoss]

Someone в сообщении #879461 писал(а):

Ну, пусть $x={1\over1+{1\over1+{1\over1+\dots}}}$. Тогда $x={1\over{1+x}}$… Да, там, конечно, нужно знать, сходится ли эта дробь хоть к чему-нибудь.

Можете объяснить как в посте выше получилось $\sqrt5-1\over2$ ?

[ИСН]

Уравнение квадратное решили, вот и получилось.

[niikiitoss]

ИСН в сообщении #879465 писал(а):

Уравнение квадратное решили, вот и получилось.

Какое уравнение? Там же нету переменных.

-- 25.06.2014, 00:28 --

Кажется дошло, в моем ответ будет $x^2/(x+1)$ верно?

[ИСН]

niikiitoss в сообщении #879466 писал(а):

Какое уравнение?

вот это вот

Someone в сообщении #879461 писал(а):

$x={1\over{1+x}}$

Ваш ответ не проверял, но там тоже должно быть квадратное уравнение, а значит - должны быть корни ($\sqrt\dots$). Где корни?

[niikiitoss]

ИСН в сообщении #879473 писал(а):

niikiitoss в сообщении #879466 писал(а):

Какое уравнение?

вот это вот

Someone в сообщении #879461 писал(а):

$x={1\over{1+x}}$

Ваш ответ не проверял, но там тоже должно быть квадратное уравнение, а значит - должны быть корни ($\sqrt\dots$). Где корни?

А зачем корни? Вопрос ведь стоит найти функцию

[ИСН]

Ну значит, ищите функцию.

[niikiitoss]

ИСН в сообщении #879482 писал(а):

Ну значит, ищите функцию.

Я понял, я не совсем понял как составить уравнение. В моем случае уравнение будет равно $x = -1 + 1/(x+1)$ ?

[svv]

Нет, это не то. Ну, допустим, решите Вы это уравнение, получится у Вас какое-то число или числа. А Вам ведь надо получить зависимость $f(x)$ от $x$, только не в виде цепной дроби, а попроще.

Обозначьте $f(x)+1$ через $y$. Чему будет равно $y$?

[niikiitoss]

svv в сообщении #879497 писал(а):

Нет, это не то. Ну, допустим, решите Вы это уравнение, получится у Вас какое-то число или числа. А Вам ведь надо получить зависимость $f(x)$ от $x$, только не в виде цепной дроби, а попроще.

Обозначьте $f(x)+1$ через $y$. Чему будет равно $y$?

$y={1\over x+{1\over x+{1\over x+\dot}}}$