Верна ли теорема Петрова?

[IvanDrago]

Собственно это такая шутка из разряда математики... Несколько лет назад некто Петров И. будучи студентом одно математического ВУЗа, разместил на форуме такое утверждение, в последствии которое прозвали "теоремой Петрова":

Цитата:

ВЕЛИКАЯ БЕЗДОКАЗАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

Сумма двух целых чисел a и b не равных
единице, каждое из которых возведено в степень c
отличной от единицы, никогда не будет равна
показателю этой степени.

$ a^c + b^c \ne c $, при $a, b, c \ne 1 $.

Стало любопытно на сколько оно верное? Я так понимаю сумма двух показательных функций ($a^x+b^x$) стремительно растет в отличии от линейной функции (x)(графически это явно видно), т.к. a и b - целые числа, большие 1. То есть данное утверждение верно.

Но вот доказательства этой "теоремы" по сей день нет)).

[Xaositect]

В такой формулировке она очевидно неверна, потому что $(-1)^2 + (-1)^2 = 2$. Возможно, Вы хотели сказать "положительных целых"?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[IvanDrago]

Имелось в виду, что не равно 1 по модулю, то есть 1 не рассматриваем). А то решение получается каким-то казусным)) Формулировка взята "историческая". Но как раз имелось ввиду, что "отличной от единицы"

[Xaositect]

А $c$ тоже целое? А то опять же в формулировке этого нет.

[IvanDrago]

А почему с должно быть целым? Я так понял что нет, этого же не сказано.

[Xaositect]

Ну в общем рассматривайте случаи. Не забудьте, что если хотя бы одно из $a,b$ отрицательно, то степень определена только для целых $c$.

$a \geqslant 2, b \geqslant 0$. Тут достаточно доказать, что $2^x > x$. Это простое упражнение.
$a \geqslant 2, b \leqslant - 2$, $c > 0$, $c$ нечетно. Тут воспользуйтесь формулой сокращенного умножения для $|a|^c - |b|^c$.
Остальные случаи очевидны.
$c = 0$ - тут очевидно.
$a = 0, b = 0$ - тут очевидно.
$c < 0$ - тут очевидно, потому как $a^c$ будут по модулю меньше $\frac12$
$a < 0$ или $b < 0$, $c > 0$, $c$ четно - тут все то же самое, что в первом случае.
$a < 0, b < 0, c > 0$, $c$ нечетно - тут очевидно, потому как знаки.

И еще один случай я пропустил :)