Немного комплексного анализа

[Keter]

1. Задана аналитическая функция $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}.$ Известно, что $\operatorname{Re} f >0.$ Докажите, что функция $f$ -- константа.

2. Условимся считать, что комплексные числа $z_1 \ge z_2,$ если неравенство выполнено для их действительных и комплексных частей соответственно. Также, пусть функция $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ монотонная, если из $z_1 \ge z_2$ следует $f(z_1) \ge f(z_2).$ Укажите все монотонные дифференцируемые функции.

[hippie]

1.
Функция $e^{-f(z)}$ ограниченная аналитическая во всей комплексной плоскости. По теореме Лиувилля это константа.

2.
Это функции вида $f(z)=cz,$ где $c\in \mathbb{R}_+ \cup \{ 0\} .$

[ex-math]

Скорее, $cz+d$.

[hippie]

Конечно!!!
Очевидно, что $f'(z)=\operatorname{const} \ge 0.$ Но восстанавливая функцию по производной я забыл добавить константу.