Максимальное значение функции в области

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: найти максимальное и минимальное значение функции $z=\cos^2(y)+\sin^2(x)$ в области $D$, заданной неравенствами: $y-x \leqslant \frac{\pi}{4}$, $x \geqslant 0$, $y \leqslant \frac{\pi}{2}$.

Область $D$ - незамкнутая, но, в принципе, задача решаема, или все же нет?

Вообще говоря, довольно очевидно, что $0 \leqslant \cos^2(y)+\sin^2(x) \leqslant 2$, а так как функция периодическая и область $D$ не ограничена, то максимальное значение данной функции в заданной области будет $2$, а минимальное $0$, будет ли корректен такой ответ, или в ответе нужно обязательно указывать не только значения функции, но и точки, в которых достигаются данные значения? (я указал бы и точки, так как они тоже просто находятся, единственное что, сложновато будет выбрать из всех точек только те, которые принадлежат области $D$).



И еще есть один маленький вопрос, ради которого не хотелось создавать отдельную тему, озвучу его здесь: найти объем тела, ограниченного поверхностями $x^2+y^2-z^2=4$, $x^2+y^2=4$, $z \geqslant 0$.

Данные гиперболоид и цилиндр пересекаются в плоскости $z=0$ по окружности $x^2+y^2=4$, далее, при $z \geqslant 0$ гиперболоид начинает по-тихоньку отдаляться от цилиндра, и между ними образуется некоторая полость, но, сверху по $z$ эта область же неограничена, то есть заданные поверхности не ограничивают никакое тело, или тут есть какое-то другое тело?

Спасибо!

[Otta]

Limit79 в сообщении #877039 писал(а):

или тут есть какое-то другое тело?

Нет. И вообще, явная путаница, скорее всего, в знаках в заданиях, что в первом, что во втором.
А если делать первое в том виде, что есть, то, в принципе, нет никаких проблем

Limit79 в сообщении #877039 писал(а):

выбрать из всех точек только те, которые принадлежат области $D$

даже если это нужно.

Но наверняка замысел составителя был

Цитата:

найти максимальное и минимальное значение функции $z=\cos^2(y)+\sin^2(x)$ в области $D$, заданной неравенствами: $y-x \geqslant \frac{\pi}{4}$, $x \geqslant 0$, $y \leqslant \frac{\pi}{2}$.

[Limit79]

Otta
Касательно первого задания: точки, да, можно выбрать, но кроме них нужно исследовать область на заданной частичной границе: луч, отрезок, луч. На отрезке понятно как, но про минимум и максимум на луче (причем с включенной начальной точкой) я не слышал

Насчет перепутанного знака я тоже подумал. Критические точки попадают на границу области, в таком случае тоже нужно исследовать границы, или нет? Или не исследовать только те границы, на которые выпали критические точки, а остальные, без критических точек нужно исследовать?

Касательно второго: перепутанный знак - это минус перед $z$? То есть предполагалась сфера?

[Otta]

Limit79 в сообщении #877042 писал(а):

Касательно первого задания: точки, да, можно выбрать, но кроме них нужно исследовать область на заданной частичной границе: луч, отрезок, луч. На отрезке понятно как, но про минимум и максимум на луче (причем с включенной начальной точкой) я не слышал

И что в этом такого особенного? Уравнения (всего) Вам известны. Осталось посмотреть сужение функции на этот самый луч. Можно и так извращаться, и даже с поиском экстремумов. Хотя в этом нет необходимости: Вам уже ясно, какое значение максимально, осталось только посмотреть, в каких именно точках это вообще бывает. Проще всего картинку нарисовать.

Во втором трудно сказать, что именно перепутано, даже и не буду пытаться это сделать.

Limit79 в сообщении #877042 писал(а):

Насчет перепутанного знака я тоже подумал. Критические точки попадают на границу области, в таком случае тоже нужно исследовать границы, или нет? Или не исследовать только те границы, на которые выпали критические точки, а остальные, без критических точек нужно исследовать?

Да хоть так, хоть эдак. Там того исследования кот наплакал. Да и критическая точка в этой области вроде бы только одна. Положим даже это минимум, ну а максимум-то, значит, все равно искать. На всех границах, естественно.