Касательные к эллипсу и его центр

[math_question]

Требуется доказать, что если $A(x_1, x_2)$ и $B(x_2, y_2)$ точки на эллипсе, и $C(x_3, y_3)$ — точка пересечения касательных к эллипсу в точках $A$ и $B$, то прямая, проходящая через $C$ и середину отрезка $AB$ проходит также через центр эллипса.

Я рассматриваю эллипс в каноническом виде. Из уравнения касательной к эллипсу, $\frac{xX}{a^2} + \frac{yY}{b^2} = 1$, где $(x, y)$ — точка на эллипсе, а $(X, Y)$ — точки касательной, решая систему из двух линейных уравнений, нахожу координаты $C$: $x3 = a^2 \frac{y_2 - y_1}{x_1 y_2 - x_2 y_1}$, $y_3 = b^2 \frac{x_1 - x_2} {x_1 y_2 - x_2 y_1}$.

Середина отрезка $AB$: $x_m = (x_1 + x_2) / 2$, $y_m = (y_1 + y_2 ) / 2$.

Т.к. прямая, проходящая через $C$ и $(x_m, y_m)$ пересекает $(0, 0)$, то $y_m / x_m = y_3 / x_3$. Однако, это равенство не соблюдается из-за дополнительного множителя $b^2 / a^2$.

Либо гипотеза о пересечении центра неверна, либо у меня ошибка в расчётах и/или рассуждениях.

[Munin]

Если сделать аффинное преобразование плоскости, переводящее эллипс в окружность, то факт станет очевидным. (Касательные при этом остаются касательными, точки пересечения - точками пересечения, середины отрезка - серединами отрезка, а центр эллипса переходит в центр окружности.)

-- 18.06.2014 23:11:32 --

У вас нигде не использован тот факт, что обе точки лежат на эллипсе.