Преобразование Фурье

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: найти косинус- и синус-преобразования Фурье функции:

$$f(x)=\operatorname{sgn}(x^2-1)-\operatorname{sgn}(x^2-4)$$

Насколько я понимаю, сначала нужно представить заданную функцию таким образом

$$f(x) = \left\{\begin{matrix} 0, x<-2\\ 1,x=-2\\ 2, -2<x<-1\\ 1,x=-1\\ 0,-1<x<1\\ 1,x=1\\ 2,1<x<2\\ 1,x=2\\ 0,x>2 \end{matrix}\right.$$

Косинус-преобразование

$$ \widehat f_{c}(a) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int\limits_{0}^{+\infty} f(x) \cos(ax) dx = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \left ( \int\limits_{0}^{1} 0 \cdot \cos(ax) dx + \int\limits_{1}^{2} 2 \cdot \cos(ax) dx + \int\limits_{2}^{+\infty} 0 \cdot \cos(ax) dx \right ) $$

Первый и третий интегралы будут равны нулю, второй будет равен

$$\frac{2 \cdot (\sin(2a)-\sin(a))}{a}$$

Тогда, искомое косинус-преобразование будет

$$ \widehat f_{c}(a) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{2 \cdot (\sin(2a)-\sin(a))}{a}$$

Подскажите, пожалуйста, верно ли это? Для синус-преобразования все будет аналогично?

Спасибо!

[svv]

Да, это верно. Для синус-преобразования всё будет аналогично.

Можно не расписывать подробно, где и чему равна функция $f(x)$, а указать, что при $x\geqslant 0$ она отлична от нуля только на $[1,2]$ и равна там двум (не считая концов отрезка). Тогда
$ \widehat f_{c}(\omega) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int\limits_{1}^{2} 2\; \cos\omega x\; dx=2\;\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;\dfrac{\sin 2\omega-\sin \omega}{\omega}$

[Limit79]

svv
Большое спасибо за помощь!

У меня еще один вопрос возник, если от полученного выражения взять обратное преобразование Фурье, то мы не получим исходную функцию (в принципе, это, наверное, очевидно, так как она кусочно-заданная). Но даже на отрезке $[1;2]$ при обратном преобразовании Фурье мы не получим $f(x)=2$.

[svv]

Наоборот, всё получается идеально, даже на концах отрезка.
$\sqrt{\dfrac 2{\pi}}\int\limits_{0}^{\infty} \widehat f_{c}(\omega) \;\cos\omega x\;d\omega=\dfrac 2{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\sin 2\omega}{\omega} \;\cos\omega x\;d\omega-\dfrac 2{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\sin \omega}{\omega} \;\cos\omega x\;d\omega$
В первом интеграле делаем замену $2\omega=a$. Обратите внимание, что я перешел к интегралам по вещественной оси.
Введем обозначение $p(x)=\dfrac 1 {\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\sin a}{a}\;\cos a x\;da$. Тогда разность интегралов равна $2[p(\frac x 2)-p(x)]$.

Остается доказать, что $p(x)$ — это ступенька, спадающая с уровня $1$ на уровень $0$ в точке $x=1$:
$p(x)=\begin{cases}1,&0\leqslant x<1\\\frac 1 2,&x=1\\0,&x>1\end{cases}$
$p(\frac x 2)$, соответственно, имеет скачок в точке $x=2$. Разность этих ступенек и дает то, что нужно. В точке разрыва $p(x)$ равна среднему арифметическому от левого и правого предельных значений. Исходная функция ведет себя так же.

[Limit79]

svv
Спасибо, это я что-то не так посчитал.