Не могу доказать формулу

[Nirowulf]

Здравствуйте!

Нужно доказать следующую формулу:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dx \int\limits_{-\infty}^{+\infty}dy e^{iE_n(y-x)}\Theta (y-x) e^{i(E'y-Ex)}=2\pi \delta(E-E') \frac{1}{E-E_n+i\varepsilon}.$$

Мои рассуждения.

Интегральное представление тета-функции

$$\Theta(x)=\lim\limits_{\varepsilon \to 0+}\frac{i}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\tau+i\varepsilon}e^{-ix\tau}d\tau$$

и дельта-функции

$$\delta(x)= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ix\tau}d\tau.$$

Используем в интеграле представление для тета-функции:

$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}dx \int\limits_{-\infty}^{+\infty}dy e^{iE_n(y-x)}\Theta (y-x) e^{i(E'y-Ex)}=\frac{i}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dx \int\limits_{-\infty}^{+\infty}dy e^{iE_n(y-x)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\tau\frac{1}{\tau+i\varepsilon}e^{-i(y-x)\tau} e^{i(E'y-Ex)}.$$

Выносим интеграл по $\tau,$ группируем экспоненты с $x$ и $y:$

$$\frac{i}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\tau \frac{1}{\tau+i\varepsilon} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}dy e^{i(E_n+E'-\tau)y}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dx e^{i(\tau-E_n-E)x}.$$

Берём интеграл по $x,$ пользуясь формулой для дельта-функции:

$$i\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\tau \frac{1}{\tau+i\varepsilon} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}dy e^{i(E_n+E'-\tau)y}\delta(\tau-E_n-E).$$

Выделяем эскспоненту с $\tau$ и берём интеграл по $\tau$ с помощью дельта-функции:

$$i\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dy e^{i(E_n+E')y}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\tau \frac{1}{\tau+i\varepsilon} e^{-i\tau y}\delta(\tau-E_n-E)=$$

$$=i\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dy e^{i(E_n+E')y}\frac{1}{E+E_n+i\varepsilon}e^{-i(E_n+E)y}.$$

Выносим дробь за интеграл, приводим подобные в экспоненте:

$$\frac{i}{E+E_n+i\varepsilon}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dye^{i(E_n+E'-E_n-E)y}=\frac{i}{E+E_n+i\varepsilon}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dye^{i(E'-E)y}.$$

Беря интеграл по $y$ с помощью формулы для дельта-функции, получаем окончательно:

$$2\pi\delta(E'-E)\frac{i}{E+E_n+i\varepsilon},$$

где $\varepsilon$ бесконечно малая положительная добавка.

Расхождение с заявленным ответом на знак в знаменателе и мнимую единицу в числителе, в упор не вижу, где я ошибся.

[svv]

Не могу заставить себя проверить все Ваши формулы. Попробуйте получить то же (или не то же) другим способом. Сделайте замену переменных:
$x=\xi-\frac 1 2 \eta$
$y=\xi+\frac 1 2 \eta$
При этом
$y-x=\eta$
$\frac{D(x, y)}{D(\xi, \eta)}=1$
Подставляя в исходный интеграл, получаем произведение двух интегралов:
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i(E'-E)\xi}d\xi$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Theta(\eta)e^{i(E_n+\frac{E'+E}{2})\eta} d\eta$
Первый равен $2\pi\delta(E-E')$. Так как при $E\neq E'$ это обращается в нуль, во втором интеграле можно считать, что $E=E'$, и он переписывается в виде
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Theta(\eta)e^{i(E_n+E)\eta} d\eta$
Как видите, у меня тоже сумма $E_n+E$, а не разность.

[Nirowulf]

svv
Да, разобрался, у меня и у вас всё правильно, ошибка в заявленном ответе. Спасибо!