Разложение функции в ряд по степеням

[heleo]

Доброго времени суток.
Возникла пара задачек по ТФКП. Поскольку мат.анализ за 8 лет уже изрядно из головы вылетел, нужна Ваша помощь.

Необходимо разложить функцию $f(z) = \frac z {(z+1)\cdot(z^2+1)}$ в ряд по степеням $z - 1$ во всех возможных областях.

Разложил функцию на дроби:
$f(z) = \frac A {(z+1)} + \frac B {(z^2+1)} = \frac z {(z+1)\cdot(z^2+1)}$

Из B становится ясно, что корень комплексный - делаю замену $\left t = z - i, \right z = t + i $
$f(t + i) = \frac {t + i} {(t + i +1) \cdot ((t - i)^2+1)}$

$f(t + i) = \frac {t + i} {(t + i +1) \cdot (t^2 - 2ti)}$

$f(t + i) = \frac {t + i} {(t + i +1) \cdot (t - 2i) \cdot (t)}$

$f(t + i) = \frac A {(t + i +1)} + \frac B {(t - 2i)} + \frac C t = \frac {t + i} {(t + i +1) \cdot (t - 2i) \cdot (t)} $

А вот дальше начинается провал в памяти:
1. Как решать итоговую систему после замены?
2. И что означает

Цитата:

в ряд по степеням $z - 1$ во всех возможных областях

?

[ewert]

heleo в сообщении #875977 писал(а):

2. И что означает

Цитата:

в ряд по степеням $z - 1$ во всех возможных областях

?

Это означает, что надо вспомнить (или подглядеть), что такое ряд Лорана и в какого типа области сходится любой такой ряд. Для начала.

[ИСН]

1. Никак не решать. Замену не надо было делать.
2. А это такое дело. Ну знаете же, наверное, что ${1\over1-x}=1+x+x^2+x^3+\dots$, например? А где этот ряд верен, где он сходится? При $|x|<1$. А что будет за единицей? А там другая область и другой ряд.

[ewert]

ИСН в сообщении #875981 писал(а):

Замену не надо было делать.

Надо было. Но, естественно, не эту.

[heleo]

ewert в сообщении #875982 писал(а):

ИСН в сообщении #875981 писал(а):

Замену не надо было делать.

Надо было. Но, естественно, не эту.

Тогда подскажите какую?)

[ИСН]

Такую, чтобы то, по степеням чего Вы собираетесь раскладывать, обозначалось одной буквой.
Но это необязательно, чисто для удобства.