2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать тождество
Сообщение25.07.2007, 19:03 
$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$
Как из левой части получить правую?

 
 
 
 
Сообщение25.07.2007, 19:06 
Аватара пользователя
А что там получается, если обе части в квадрат возвести?

 
 
 
 
Сообщение25.07.2007, 19:10 
Аватара пользователя
:evil:
Только не забудьте при возведении в квадрат проверить ообласти определения правой и левой части — а друг они не совпадают…

 
 
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение25.07.2007, 19:39 
KiberMath писал(а):
Как из левой части получить правую?
$$\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt u+\sqrt v$$
$$a+\sqrt b=u+v+2\sqrt{uv}$$
Так как неизвестных два, а уравнение одно, решений много. Одно из решений получается, если разбить равенство на два:
$$u+v=a, uv=\frac b 4$$
По теореме Виета $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения
$$x^2-ax+\frac b 4=0$$
Остается только решить его.

 
 
 
 
Сообщение25.07.2007, 20:00 
tolstopuz
:shock: Вот это было хитро.. :lol:
А существует док-во попроще (более очевидное)???

 
 
 
 
Сообщение25.07.2007, 20:26 
Аватара пользователя
:evil:
Вы, кажется, смешиваете доказательство (оно простое, возведение в квадрат правой и левой части) тождества, и метод изобретения тождества (tolstopuz).

 
 
 
 
Сообщение25.07.2007, 20:30 
незваный гость
Да... действительно ... :oops:
Я им ел в виду метод изобретения тождества

 
 
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение26.07.2007, 01:00 
Аватара пользователя
Позволю себе ввести штрихи в вашем тождестве:
KiberMath писал(а):
$\sqrt{a'+\sqrt{b'}}=\sqrt{\frac{a'+\sqrt{a'^2-b'}}{2}}+\sqrt{\frac{a'-\sqrt{a'^2-b'}}{2}}$
Как из левой части получить правую?

Общее тождество данного типа представлено здесь:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=58316#58316

Для получения вашего тождества там нужно положить:
$n=2$
$a = \sqrt{a'+\sqrt{b'}}$
$b = 1$
$c = a'-\sqrt{b'}$

Для получения аналогичных равенств более высоких порядков можно взять большее значение $n$, а значения $a,b,c$ оставить прежними.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group