Разложение функции в степенной ряд

[tech]

Здравствуйте.
Назрел следующий вопрос.
Допустим, функция $\frac{1}{1-x}$ разлагается в ряд в точке $x_0=0$ при $|x|<1$ следующим образом $\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k $.
Хочу понять, правильно ли я понимаю, что на вопрос: "почему функция не разлагается в ряд Маклорена при остальных $x$?" нельзя ответить (точнее, этот ответ будет не совсем верным): "потому что ряд $\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k $ при остальных $x$ расходится".
А правильным будет рассмотреть остаточный член $r_n$
$\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^{n} x^k + \frac{x^{n+1}}{1-x}$
и сказать, что $r_n=\frac{x^{n+1}}{1-x}$ стремится к нулю при $n \to \infty$ тогда и только тогда, когда $|x|<1$
А вот отсюда уже следует, что функция разлагается в ряд только тогда, когда $|x|<1$ и ряд её равен $\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k $.
Верно ли я понимаю?

[ИСН]

По-моему, это одно и то же.

[tech]

ИСН
Но когда я отвечаю вот так:
"потому что ряд $\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k $ при остальных $x$ расходится",
то возникает вопрос: может быть, при $|x|>1$ существует другой ряд, который сходится к $f(x)$ ($f(x)=\frac{1}{1-x}$)?
И ответить на этот вопрос можно, рассмотрев остаточный член.
Или такая ситуация невозможна (при $|x|>1$ существует другой ряд, который сходится к $f(x)$)?

-- 15.06.2014, 11:11 --

Хм, кажется я сейчас сам отвечу на свой вопрос:
Если этот другой ряд сходился бы к $f(x)$ только при $|x|>1$, то просто по определению мы не можем сказать, что функция разлагается в степенной ряд в точке $0$ (разложение в степенной ряд подразумевает, что функцию можно представить как сумму ряда в целой окрестности точки $x_0$; в данном случае $x_0=0$).
А если же этот другой ряд сходился бы к $f(x)$ ещё и при $|x|<1$, то по теореме о единственности разложения, мы получили бы противоречие.