2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Несобственный интеграл
Сообщение14.06.2014, 23:28 
Здравствуйте!

Есть такая задачка: исследовать несобственный интеграл на сходимость: $$\int\limits_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x^{10} (x^2-x-2)}$$

Интеграл $\int\limits_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x^{12}}$ сходится, тогда, по предельному признаку сравнения, исходный интеграл тоже сходится, но он расходится...

Подскажите, пожалуйста, где я ошибся :|

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение14.06.2014, 23:30 
Решение такого сорта задач всегда следует начинать с поиска особых точек.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение14.06.2014, 23:33 
Аватара пользователя
Давайте посмотрим, чем подынтегральные функции отличаются в точке $x=2$...

(Otta)

Упс, опередили.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение14.06.2014, 23:39 
Подумайте, чему равно выражение под интегралом при $x=2$.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение14.06.2014, 23:41 
Otta
Спасибо!
Особенность еще и при $x=2$, так как исходный интеграл расходится, то нужно оценить чем-то расходящимся снизу... я пробовал $\frac{1}{x^2-x-2}$, но эта функция дает только верхнюю оценку :|

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение14.06.2014, 23:43 
Необязательно оценивать, есть и другие признаки. Более радикальные в Вашем случае.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение14.06.2014, 23:44 
Limit79
В окрестности $\[x = 2\]$ ваша функция эквивалентна $\[\frac{{{\mathop{\rm const}\nolimits} }}{{x - 2}}\]$. Вот и всё.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение14.06.2014, 23:55 
Otta
Судя по посту Ms-dos4, это эквивалентность.

Ms-dos4
Можно ли это записать как $$\lim\limits_{x \to 2+0} \frac{\frac{1}{x^{10} (x^2-x-2)}}{\frac{1}{x-2}} = 3072$$, тогда из расходимости $\int\limits_{2}^{3}\frac{dx}{x-2}$ следует расходимость исходного интеграла?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение15.06.2014, 00:35 
Limit79. ну как Вы находите в себе силы после полного решения задавать вопросы. )) Давайте, я задам. Следует?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение15.06.2014, 00:50 
Аватара пользователя
Один студент © вот тоже так любил писать многоэтажные дроби, типа ${1\over2}\over{3\over4}$.
Потом он пошёл работать на стройку. Раз ему сказали принести доску. Он покрутился и увидел какую-то.
- Вот и хорошо! - подумал он и выдернул доску.
Громадные леса зашатались, сверху посыпались вёдра с краской и мужик, громко вспоминающий чью-то мать.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение15.06.2014, 00:51 
Otta
Да, следует :-)

Otta
Ms-dos4
Pphantom
Aritaborian
Спасибо за помощь, господа!

-- 15.06.2014, 01:53 --

ИСН
В данном случае важно показать, что предел отношения двух функций (а дробь написана для того, чтобы было понятно каких именно). Можно, конечно, написать $f(x):g(x)$, но это дело вкуса, имхо.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение15.06.2014, 00:59 

(Оффтоп)

$$\left.\frac{\frac{a/b}{c/d}\left/\frac\alpha\beta\right.}{\frac{e/f}{g/h}}\right/\frac{A/B}{C/D}.$$

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение15.06.2014, 01:00 
Аватара пользователя
На Казанском вокзале просил милостыню слепой, который случайно за обедом выколол себе глаза вилкой.
Думаете, это невозможно?
Я видел людей, которые писали всего-то трёхэтажную дробь, тоже в полной уверенности, что перепутать невозможно. И следующим же шагом путались в ней, и падали носом в землю.

-- менее минуты назад --

Не расставляйте себе ловушек. Жизнь их и так расставляет quantum satis. Пишите хотя бы ${1/2}\over{3/4}$.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение15.06.2014, 01:04 
Аватара пользователя
Всего-то делов: следить за длиной черты. arseniiv вот даже привёл пример, где и за этим следить не нужно: все этажи чётко разграничены.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение15.06.2014, 01:24 
Аватара пользователя
Следил один такой, ога.

-- менее минуты назад --

arseniiv привёл хороший пример, да. Вот так и надо.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group