Криволинейные интегралы

[shetlandalexander]

Доброго вечера, господа!
Помогите решить вот такую простую штуку:
По кривой L:
$x^2+y^2+z^2=9$
$x+y+z=0$
Распределены заряды с линейной плотностью:
$p = x^2$
Найти полный заряд кривой
Это сфера с радиусом 3
На ней вырезается Плоскостью под 45 градусов что-то вроде эллипса.
Пересечение нашел:
$(x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 + (z-0.5)^2 = 39/4$
Не могу понять какие пределы интегрирования выставить. [fxd]

[svv]

Подправьте последнюю фразу, пока никто не увидел. Здесь так нельзя.

[shetlandalexander]

svv в сообщении #875002 писал(а):

Подправьте последнюю фразу, пока никто не увидел. Здесь так нельзя.

Принял к сведению, больше не буду так косячить.)

[shetlandalexander]

up

[Lia]

shetlandalexander
Замечание за искусственный подъем темы бессодержательным сообщением.

[svv]

Известно, что
$\cos t+\cos (t+\frac{2\pi}{3})+\cos (t+\frac{4\pi}{3})=0$
$\cos^2 t+\cos^2 (t+\frac{2\pi}{3})+\cos^2 (t+\frac{4\pi}{3})=\operatorname{const}$
(а если неизвестно, то это легко заподозрить из симметрии, а потом проверить).

Это дает возможность сразу построить параметризацию нужной окружности-пересечения (не эллипса):
$x=a \cos t$
$y=a \cos(t+\frac{2\pi}{3})$
$z=a \cos(t+\frac{4\pi}{3})$
Чему равно $a$?
Далее найти интеграл
$q=\int\limits_L p\; d\ell=\int\limits_{t=0}^{2\pi}p(x(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt$

Возможно также устное решение задачи, не использующее интегрирования. Надо сложить три распределения зарядов $p=x^2;y^2;z^2$, дающих каждое один и тот же заряд, после чего $p$ станет константой. Теперь заряд равен произведению этого постоянного $p$ на длину окружности. Чтобы вернуться к исходной задаче, делим на $3$.

Две неточности:

shetlandalexander в сообщении #875000 писал(а):

Плоскостью под 45 градусов

Нет, угол между $(1,1,1)$ (нормаль к плоскости $x+y+z=0$) и любой из координатных осей другой.

shetlandalexander в сообщении #875000 писал(а):

Пересечение нашел:
$(x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 + (z-0.5)^2 = 39/4$

Уравнение правильное. Но это не пересечение сферы и плоскости, это лишь ещё одна поверхность, проходящая через пересечение. Одно это уравнение не может заменить пару уравнений, данных в условии.