Помогите разобраться (подмножества сигма-алгебры)

[Timovan]

Пусть $A_{1},A_{2},...$ непересекающиеся подмножества $\sigma$-алгебры, тогда
$\sum_{i=n+1}^{\infty} {A_{i}} \downarrow \varnothing$. Почему?

[Brukvalub]

Монотонное невозрастание - очевидно, кроме того, любая точка множества, на котором рассматривается сигма-алгебра, может принадлежать не более чем одному слагаемому суммы всех слагаемых, поэтому с увеличением $n$ обязательно кода-нибудь исчезнет из уменьшающейся суммы.

[Timovan]

Далее вопрос: $ \overline{\underset{n}\lim} {A_{n}} {=} \bigcap_{n=1}^{\infty} {\bigcup_{k=n}^{\infty} {A_{k}}}$. В это множество попадают только те события $\omega$, которые встречаются бесконечное число раз среди $A_{1},A_{2},...$. Как это понимать? Объясните как читать саму формулу.

-- 11.06.2014, 19:02 --

Ещё: $ \underset{n}{\underline{\lim}} {A_{n}} {=} \bigcup_{n=1}^{\infty} {\bigcap_{k=n}^{\infty} {A_{k}}}$ событие, состоящее в том, что произойдут все события $A_{1},A_{2},...$ за исключением, быть может, конечного числа.

[Brukvalub]

Что именно вам непонятно? На мой взгляд, во фразе: "В это множество попадают только те события $\omega$, которые встречаются бесконечное число раз среди $A_{1},A_{2},...$"
все понятно, и дополнительных разъяснений не требуется.

[Timovan]

Понял, а со второй формулой получается так: мы берем общие точки последовательности событий$A_{n},A_{n+1},...$, берем объединение по всем n, и все точки, принадлежащие одному из множеств из последовательности $A_{1},A_{2},...$ , войдут в наше множество за исключением, быть может, конечного числа точек. Почему таких точек будет конечное число?

[Timovan]

Timovan в сообщении #874315 писал(а):

Далее вопрос: $ \overline{\underset{n}\lim} {A_{n}} {=} \bigcap_{n=1}^{\infty} {\bigcup_{k=n}^{\infty} {A_{k}}}$. В это множество попадают только те события $\omega$, которые встречаются бесконечное число раз среди $A_{1},A_{2},...$. Как это понимать? Объясните как читать саму формулу.

-- 11.06.2014, 19:02 --

Ещё: $ \underset{n}{\underline{\lim}} {A_{n}} {=} \bigcup_{n=1}^{\infty} {\bigcap_{k=n}^{\infty} {A_{k}}}$ событие, состоящее в том, что произойдут все события $A_{1},A_{2},...$ за исключением, быть может, конечного числа.

Так, в первом случае множество будет состоять из событий встречающихся бесконечное число раз, а во втором случае из событий, встречающихся во всех множествах кроме конечного числа множеств. Второе множество содержится в первом. Так?