Линейная комбинация

[bersarnur]

Пусть $H$ - 4-мерное гильбертово пространство и $A \in B(H)$. Докажите, что $A$ является линейной комбинацией четырех проекторов.
Натолкните на мысль, пожалуйста.

[mihailm]

В каком месте преподают про четырехмерные гильбертовы пространства?

[мат-ламер]

Посмотрите про спектральную теорему. Но там про эрмитовы либо нормальные операторы. Что у Вас за $B(H)$? Множество невырожденных операторов?

[bersarnur]

Здесь $B(H)$ - алгебра всех ограниченных линейных операторов.

[popolznev]

mihailm в сообщении #874058 писал(а):

В каком месте преподают про четырехмерные гильбертовы пространства?

Почему нет? Для учебных примеров сгодится.

[мат-ламер]

bersarnur
Я надеюсь вы по ссылке в Вики разобрались с конечномерным случаем. Если оператор диагонализируем, то пространство разлагается на прямую сумму одномерных собственных пространств. Для каждого из них можно построить проектор всего пространства на него. Коэффициент при нём равен соответствующему собственному значению. Ну и взять сумму всего этого. Получим исходный оператор. Ну а что по вашему будет в общем случае?

[ewert]

мат-ламер в сообщении #874360 писал(а):

Если оператор диагонализируем,

Не надо диагонализуемости. Судя по терминологии и обозначениям, это явный намёк на теорему о том, что любой оператор конечного ранга есть сумма соответствующего количества операторов ранга 1. Правда, там есть один нюанс, с которым надо бороться: не любой такой оператор пропорционален одномерному проектору...