Задачи приводящие к специальным функциям

[Roxkisabsver]

Хотелось бы знать какие задачи физики, математики или других наук приводят к задачам о решении гипергеометрических функций, полилогарифмов и гармонических полилогарифмов.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[svv]

Например, через них записывается решение уравнения Шредингера для кулоновского потенциала в случае $E>0$.

[Roxkisabsver]

svv в сообщении #874049 писал(а):

Например, через них записывается решение уравнения Шредингера для кулоновского потенциала в случае $E>0$.

Через какие именно спец. функции?

[svv]

Через гипергеометрическую функцию.
Вообще, гипергеометрическая функция обобщает столько частных случаев, что примеров должно быть много.

[Roxkisabsver]

svv в сообщении #874116 писал(а):

...что примеров должно быть много.

И никто не может назвать мне несколько?

[AAMstudent]

Кто угодно назовет. Скажем, уравнение Шредингера для параболического потенциала (в одномерном случае) даст волновую функцию вида экспоненту на полином Эрмита. Та же задача в двумерном случае, в зависимости от того, как вы будете разделять переменные, даст либо произведение экспоненты на пару полиномов Эримта, либо вырожденную гипергеометрическую функцию какого-то там вида. А эта задача важная: чтобы посчитать статистику какой-нибудь системы нужен ее спектр. А ежели на вещество смотреть как на набор осцилляторов то это позволяет перейти к вычислению статсумм, а после - к вычислению всего, чего угодно. (можно монохроматических, можно и не очень. Так пишутся, например, теории теплоемкостей Эйнштейна, Дебая )

Уравнение Шредингера для трехмерного случая, скажем в сферических координатах, требует сферических функций. А, например, задача о атоме водорода приводит опять к гипергеометрической функции. (Через присоединенные полиномы Лежандра. Рядом полиномы Лаггера). Много "хороших" потенциалов из задачников по квантам удается исследовать после перехода к нужным переменным, в которых как раз и возникает гипергеометрическая функция.

Какие-нибудь вычисления интеграла Кирхгофа в задачах на дифракцию приводят к всяким интегралам Френеля и рядом лежащей кухни. Скажем, функции Ганкеля смутно помнятся, но по их специфику больше писать не рискну.

Всякие задачи с осевой симметрией часто решаются при помощи функций Бесселя. Скажем, хотите вы скин-эффект в проводах посчитать.

Тьма их! Вообще говоря, идеология вроде понятная: там, где есть УРЧП, рядом витает разделение переменных. Рядом виляют задачи на с.з. с.ф. разных дифференциальных операторов. А через эти задачи возникают спец функции.

Но это такой взгляд с потолка от патологического двоечника. Что так, что не так?

-- 10.06.2014, 22:01 --

[Brukvalub]

Roxkisabsver в сообщении #874036 писал(а):

Хотелось бы знать какие задачи физики, математики или других наук приводят к задачам о решении гипергеометрических функций, полилогарифмов и гармонических полилогарифмов.

А как можно "решить гипергеометрическую функцию"? Это как "намазать формулу на хлеб"?