Криволинейный интеграл

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: вычислить криволинейный интеграл

$$\int\limits_{L} (x^2+y^2) dL$$

где $L$ - окружность

$$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=a^2\\ x=\frac{a}{2} \end{matrix}\right.$$

Уравнение окружности $L$ в плоскости $x=\frac{a}{2}$ имеет вид:

$$\left ( \frac{a}{2} \right )^2+y^2+z^2=a^2 \Rightarrow y^2+z^2 = \left( \frac{\sqrt{3}a}{2} \right)^2$$

Параметрическое уравнение этой окружности $L$ будет

$$\left\{\begin{matrix} x=\frac{a}{2}\\ y=\frac{\sqrt{3}a}{2} \cos(t)\\ z=\frac{\sqrt{3}a}{2} \sin(t)\\ \end{matrix}\right.$$

параметр $t$ изменяется

$$0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$$

(направление обхода кривой не задано, поэтому пусть будет так)

Далее вроде все просто...


Подскажите, пожалуйста, верно ли начало? Особенно интересует параметризация окружности $L$...

Спасибо!

[Otta]

Limit79 в сообщении #873860 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, верно ли начало? Особенно интересует параметризация окружности $L$...

Верно.

Limit79 в сообщении #873860 писал(а):

(направление обхода кривой не задано, поэтому пусть будет так)

Он первого рода, зачем ему направление обхода.

[Limit79]

Otta
Спасибо!

Otta в сообщении #873861 писал(а):

Он первого рода, зачем ему направление обхода.

-- 10.06.2014, 05:50 --

Otta
Не могли бы Вы, пожалуйста, подсказать, данный интеграл можно как-нибудь по другому посчитать, дабы проверить?

Единственное, что пришло на ум -- поменять местами косинус и синус в параметрическом уравнении (ведь получится та же окружность), и получил то же значение интеграла

$$\frac{5 \sqrt{3} a^3 \pi}{8}$$

Может быть, можно как-то более кардинально изменить способ?

[Otta]

А что там такого особенного? Обычный интеграл от тригонометрической функции. Проблем с вычислением нет. В этой манипуляции

Limit79 в сообщении #873862 писал(а):

Единственное, что пришло на ум -- поменять местами косинус и синус в параметрическом уравнении

смысла нет никакого, ибо косинус и синус суть одно и тоже, с точностью до сдвига аргумента.