Обратный образ дельта функции

[Vanilin]

Найти обратный образ \delta-функции \gamma \,\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\gamma(x,y)=(x+e^y,y+1)
Решение: Пусть \{g_{n}\}-произвольная дельтообразная последовательность в \mathcal{D}'(R^2), \varphi (x,y) произвольная функция из \mathcal{D}(R^2)(A_{\gamma}g_n,\varphi)=\int\limits_{R^2}g_n(x+e^y,y-1) \varphi (x,y)dxdy=\int\limits_{R^2}a_n(x+e^y)f_n(y-1) \varphi (x,y)dxdy=\int\limits_{R}f_n(y-1)\int\limits_{R}a_n(x+e^y) \varphi (x,y)dxdy=\int\limits_{R}f_n(y-1)(\int\limits_{R}a_n(t) \varphi (t-e^y,y)dt)dy=\int\limits_{R}f_n(y-1) \varphi (-e^{-y},y)dy=\int\limits_{R}f_n(s) \varphi (-e^{-s-1},s+1)=\varphi(-1,1)
Проверьте пожалуйста решение.

[Vanilin]

Решение: Пусть \{g_{n}\}-произвольная дельтообразная последовательность в \mathcal{D}'(R^2), \varphi (x,y) произвольная функция из \mathcal{D}(R^2)
(A_{\gamma}g_n,\varphi)=\int\limits_{R^2}g_n(x+e^y,y-1) \varphi (x,y)dxdy=\int\limits_{R^2}a_n(x+e^y)f_n(y-1) \varphi (x,y)dxdy=\int\limits_{R}f_n(y-1)\int\limits_{R}a_n(x+e^y) \varphi (x,y)dxdy=\int\limits_{R}f_n(y-1)(\int\limits_{R}a_n(t) \varphi (t-e^y,y)dt)dy=
=\int\limits_{R}f_n(y-1) \varphi (-e^{-y},y)dy=\int\limits_{R}f_n(s) \varphi (-e^{-s-1},s+1)=\varphi(-1,1)

[Deggial]

Vanilin, замечание за искусственный подъем темы дублем предыдущего поста.

[Brukvalub]

А что такое "обратный образ дельта-функции"? Думаю, вам никто не ответил потому, что никто, кроме вас, про такой образ не слышал.

[Vanilin]

Пусть бесконечно гладкое отображение$ \gamma \colon \Omega_1\to \Omega_2$.Обратный образ вычисляется для обобщенных функций $G \in D'(\Omega_2)$. Пусть ${g_n}$-произвольная последовательность функций, локально интегрируемых на области $\Omega_2$ и таких, что порождаемая ими последовательность регулярных обобщенных функций сходится к $G$ в $D'(\Omega_2)$. Если последовательность регулярных обобщенных функций, порожденных функциями $g_n \circ \gamma \colon= A_{\gamma}g_n$ сходиться в $D'(\Omega_1)$ к некоторой не зависящей от $g_n$ то это функция называется обратным образом $G$ и обозначается $A_{\gamma}(G)$.

Решил проще
$(A_{\gamma}g_n,\varphi)=\int\limits_{R^2}g_n(x+e^y,y-1)\varphi(x,y)dxdy$$=\int\limits_{R^2}g_n(t,s)\varphi (t-e^{s+1},s+1)dxdy=\varphi(-e,1)$