Конформные отображения. Найти отображние области.

[qwerty_929]

Задание:
Найти образ области$ D:\{|z<1|; \frac \pi 4<Argu< \frac 9 4 \pi\}$ при отображении $u=\sqrt[4] z$ рассмотреть все ветви.
Решение:
Первым делом строим область, получаем круг радиуса 1, но вот аргумент u меня смущает, ведь u, мы получаем уже после преобразования?
Но даже если его построить, то получаем некий целый круг $+$ еще часть. Что с ней делать?
Думал, что опечатка в задании, но у других вариантов так же u.

(Оффтоп)

В классе были легкие задания и конформные отображения прошли за 1 пару...

[ex-math]

Значит и в других опечатка. Другое здесь трудно представить.

[Otta]

Опечатка однозначная. Аргумент $z$ там.

[qwerty_929]

Тогда получается некое солнышко с вырезом по лучу $ \frac \pi 4$
Дальше извлекаем корень четвертой степени, и получаем 4 рисунка.

И в самом задании попутал знак $ D:\{|z|>1; \frac \pi 4<Argz< \frac 9 4 \pi\}$

[Otta]

Вы, во-первых, ставьте модули, как полагается, а не вокруг неравенства, что за беспредел )), а во-вторых, пишите все-таки аргумент чего надо.

Образ плохо найден, аккуратнее.

[qwerty_929]

Otta в сообщении #873873 писал(а):

Образ плохо найден, аккуратнее.

Берем каждую из границ, когда извлекаем корень из круга, то получаем 4 четверти. Но так как у нас есть вырез и извлекая из него корень, то его границы и будут ограничивать каждую из четвертей.

[Otta]

У Вас аргумент в каких пределах меняется? Ага.
А если корень извлекать, то что произойдет с аргументом? Ага.
Так и в каких же пределах он будет меняться? Ага.
И так для каждой ветви самостоятельно, пож-ста.

[qwerty_929]

Otta в сообщении #873878 писал(а):

У Вас аргумент в каких пределах меняется? Ага.
А если корень извлекать, то что произойдет с аргументом? Ага.
Так и в каких же пределах он будет меняться? Ага.
И так для каждой ветви самостоятельно, пож-ста.

Аргумент меняется в пределах $\frac \pi 4<Argz< \frac 9 4 \pi\$
Аргумент разделится на 4 области. У меня с аргументом примерное такое же как и в учебнике, но разрез идет под углом

Следовательно у меня будет так же, но лишь повернуто.
Я понять никак не могу что с аргументом происходить будет.

[Otta]

Ну а что происходит с аргументом комплексного числа при извлечении корня степени $n$?
Ладно, наоборот, при возведении в $n$-ю степень?

[qwerty_929]

Otta в сообщении #873880 писал(а):

Ну а что происходит с аргументом комплексного числа при извлечении корня степени $n$?
Ладно, наоборот, при возведении в $n$-ю степень?

При возведение в степень, аргумент комплексного числа умножается на $n$

[Otta]

Верно. А при извлечении корня - наоборот. Ну почти. Потому что оказывается, что их несколько, таких точек, которые при умножении аргумента на $n$ (при фиксированном значении модуля) перейдут в одну. И как их считать, Вам известно. В частности, Вам известно, какие именно точки перейдут в луч $\arg z=\pi/4$. Только Вы почему-то этот факт игнорируете.

[qwerty_929]

Otta в сообщении #873883 писал(а):

Верно. А при извлечении корня - наоборот. Ну почти. Потому что оказывается, что их несколько, таких точек, которые при умножении аргумента на $n$ (при фиксированном значении модуля) перейдут в одну. И как их считать, Вам известно. В частности, Вам известно, какие именно точки перейдут в луч $\arg z=\pi/4$. Только Вы почему-то этот факт игнорируете.

Ну так том рисунке, я изложил свое понимание луча $\arg z=\pi/4$. Ведь 4 области как раз и ограничиваю этими лучами.

(Оффтоп)

По степенным функциям все давалось в теории, практики не было, вот пытаюсь разобраться...

[Otta]

qwerty_929 в сообщении #873885 писал(а):

Ну так том рисунке, я изложил свое понимание луча $\arg z=\pi/4$. Ведь 4 области как раз и ограничиваю этими лучами.

Хорошо. То есть Вы утверждаете, что если к любой из Ваших четырех областей применить возведение в четвертую степень, то получится исходная. Проверьте.

[qwerty_929]

Otta в сообщении #873887 писал(а):

Хорошо. То есть Вы утверждаете, что если к любой из Ваших четырех областей применить возведение в четвертую степень, то получится исходная. Проверьте.

Эх..Проверил, получается примерно то что нужно, но вырез от минус 1...

[Otta]

Ну это уже вообще что-то из рук вон.
Рассказывайте.

А, поняла. Да, так и получится. Не рассказывайте. Переваривайте, почему.