Устойчивость нелинейного ДУ и его линеаризованного варианта

[eugrita]

Возможно ответ на поверхности, но вынужден задать волнующий меня вопрос.
Возник он на модели собственных частот упругого стержня с разными видами закреплений. Дело в том, что чаще всего там пользуются линеаризованным уравнением изгиба (в зависимости от краевых условий)
$EIy^{(4)}+Py''=0$ или $EIy''+Py=0$
в то время как точное уравнение с учетом геометрической нелинейности имеет вид $EI\frac{y''}{\sqrt{1+(y')^{3/2}}}+Py=0$
(может быть $I=I(x)$ и немного другие варианты написания частотного уравнения в зависимости от постановки задачи)
Различаются ли подходы к задаче нахождения собственных.значений и собств.функций для линеаризованного и исходного варианта?
У Ляпунова есть теоремы об устойчивости по 1 приближению.
Можно ли их применить к этой задаче?
В данной задаче дифф.уравн.можно считать обыкновенным.
А если бы было дифф.ур. в частных производных? К ним теор.Ляпунова вроде не относятся?

[Oleg Zubelevich]

то задача на собственные функции и собственные значения (причем непоставленная задача) то устойчивость по Ляпунову . Ничего понять нельзя.

eugrita в сообщении #873560 писал(а):

К ним теор.Ляпунова вроде не относятся?

смотря какая

[eugrita]

Да. К сожалению неточно сформулировал. В т.ч. и в названии темы.
Речь идет о спектре собственных значений нелинейного (дифференциального) оператора, задаваемого приведенным выше уравнением. И об его собственных функциях. В механике подобное называют устойчивость при продольном изгибе. Хотя конечно это не то,что устойчивость ОДУ когда $RE \lambda < 0$.
Видимо эту задачу механики можно сформулировать на языке математики так
Есть нелинейный дифференциальный оператор и линеаризованный дифференциальный оператор. (в том смысле что когда его собств.функции (формы колебаний) малы, то разница (норма разности) исходного и линеаризованного оператора тоже мала.
Можно ли и как оценить расхождение их спектров собственных значений, и расхождение собственных функций (форм колебаний).
Для практического применения интересно прежде всего мин собственное значение и основная форма колебаний
Вроде задача собственных значений относится к функциональному анализу (Колмогоров и др) но тем не менее не представляю.

[Oleg Zubelevich]

Это все чепуха, что там написано. Формы изогнутого стержня это экстремумы потенциальной энергии. Если потенциальная энергия достигает локального минимума на соответствующем пространстве функций, то данная форма стержня устойчива. А подробности надо в книжках по теории упругости смотреть, вот только в каких, как-то сразу не соображу.

[eugrita]

Хотите сказать, используются вариационные методы?
Да, я это знаю -известны методы Галеркина, Ритца-Тимошенко.
Для стержня они как-то сводятся к приближенному энергетическому
$P_{kr}=\frac{EI\int{y''(x)dx}}{\int{(y'(x)^2dx}}$
При этом в сложных случаях когда уравнение упругой линии нельзя угадать, упр.линию подбирают полиномами. (энергетический метод применяется для линеаризованного уравнения)
Но мой вопрос относится не к тому или иному методу получения собств.знач.
а к тому насколько можно ошибиться в критическом значении силы заменив нелинейное уравнение линеаризованным. Т.е. нужны оценки а не методы.
Вообще теория стержней непростая штука. Вот не читал пока диссертации на эту тему (нехватка времени), а они есть и не одна.

[Oleg Zubelevich]

начинать с учебников надо а не с диссертаций