Сходимость интеграла

[Ssheh]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться:
Дается интеграл $\int_0^\pi(\frac{lnx}{\sqrt{\sin x}})$ и надо проверить его на сходимость. Найти первообразную не получается(у вольфарам тоже нет никаких идей). Правильно ли я понимаю, что надо искать оценку снизу, либо сверху для проверки расходимости, т.е , к примеру, если оценка снизу расходится, то и данный будет расходиться? Если это так, то я же могу оценить этот интеграл снизу $\int_0^\pi{lnx}$ и сделать выводы опираясь уже на этот интеграл?

[Otta]

Во-первых, не надо оценивать интегралы. Надо оценивать подынтегральные функции. Во-вторых, почему Ваша оценка верна? оценка логарифмом снизу верна если только логарифм положителен. В-третьих, что Вам дает эта оценка? В-четвертых, Вы явно не ищете легких путей.

(Оффтоп)

А логарифм и т.п. пишут так: \ln x

[popolznev]

Во-1, не забудьте, что с этим интегралом проблемы в обоих концах отрезка.

Во-2, с несобственными интегралами проще всего так: оценить подынтегральную функцию какой-нибудь степенью икса (а лучше всего - найти такую степень $a$, чтобы подынтегральная функция $f(x)$ была бы эквивалентна (в нужной точке) $x^a$). Вот попробуйте так.

[Ssheh]

Otta в сообщении #873516 писал(а):

Во-первых, не надо оценивать интегралы. Надо оценивать подынтегральные функции. Во-вторых, почему Ваша оценка верна? оценка логарифмом снизу верна если только логарифм положителен. В-третьих, что Вам дает эта оценка? В-четвертых, Вы явно не ищете легких путей.

Да, немного поторопился с оценкой, а что дальше? вот я оценю снизу и это правильное рассуждение ?:

Ssheh в сообщении #873505 писал(а):

т.е , к примеру, если оценка снизу расходится, то и данный будет расходиться?

popolznev в сообщении #873521 писал(а):

Во-2, с несобственными интегралами проще всего так: оценить подынтегральную функцию какой-нибудь степенью икса (а лучше всего - найти такую степень $a$, чтобы подынтегральная функция $f(x)$ была бы эквивалентна (в нужной точке) $x^a$). Вот попробуйте так.

а как найти такую степень $a$, чтобы она еще и эквивалентна была?(я на данный момент просто степени $x$ не вижу, чтобы это выполнялось).

[Otta]

Ssheh в сообщении #873636 писал(а):

вот я оценю снизу и это правильное рассуждение ?:

Правильное для чего? Надо понять, что оно Вам дает и дает ли что-то, кроме того что думать о правильности оценок.
Причем для теоремы сравнения в этом варианте нужно выполнение еще какого-то условия. Какого?

Ssheh в сообщении #873636 писал(а):

а как найти такую степень $a$, чтобы она еще и эквивалентна была?(я на данный момент просто степени $x$ не вижу, чтобы это выполнялось).

Не обязательно $x$. А как найти - по определению и используя стандартные эквивалентности, например.

[SpBTimes]

Для начала удобно выяснить вопрос о сходимости

$$ \int\limits_0^a \frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}dx $$

[Ssheh]

Otta в сообщении #873637 писал(а):

Правильное для чего? Надо понять, что оно Вам дает и дает ли что-то, кроме того что думать о правильности оценок.
Причем для теоремы сравнения в этом варианте нужно выполнение еще какого-то условия. Какого?

То что они обе больше 0(но тогда могу ли я применять здесь теорему сравнения, учитывая, что тут логарифм?) и должны быть интегрируемы на каждом интервале отрезка $[a,b]$

Otta в сообщении #873637 писал(а):

Не обязательно $x$. А как найти - по определению и используя стандартные эквивалентности, например.

Вы не могли бы, пожалуйста, привести пример?( а то я так и не понял, что нужно сделать.)

[Otta]

Ssheh в сообщении #873645 писал(а):

То что они обе больше 0

Да.

Ssheh в сообщении #873645 писал(а):

но тогда могу ли я применять здесь теорему сравнения, учитывая, что тут логарифм?

Можете, но тогда разбейте интеграл на промежутки знакопостоянства функции и "заставьте " отрицательный кусок побыть положительным. Иначе Вы будете неравенства не в ту сторону выписывать. Раз уж Вам так хочется вообще их выписывать. Потому что эквивалентность радикальнее, конечно.

Ssheh в сообщении #873645 писал(а):

Вы не могли бы, пожалуйста, привести пример?

Пример: чему эквивалентна $\sin^2\pi x$ при $x\to 0$? при $x\to 1$?

[Ssheh]

Otta в сообщении #873649 писал(а):

Пример: чему эквивалентна $\sin^2\pi x$ при $x\to 0$? при $x\to 1$?

$1) (\pi x)^2$
$2) 0$

SpBTimes в сообщении #873642 писал(а):

Для начала удобно выяснить вопрос о сходимости

$$ \int\limits_0^a \frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}dx $$

Он расходится, т.к меньшая ф-ия $\frac{1}{x^\alpha}$ расходится

Otta в сообщении #873649 писал(а):

Раз уж Вам так хочется вообще их выписывать. Потому что эквивалентность радикальнее, конечно.

Я бы может быть и хотел через эквивалентности, но пока я не понимаю как, может мне надо разбить участок , как $\int_0^{\pi/2}$ и $\int_{\pi/2}^\pi$?

[SpBTimes]

Ssheh в сообщении #873671 писал(а):

Он расходится, т.к меньшая ф-ия $\frac{1}{x^\alpha}$ расходится

Функция вообще не может расходиться. А остальное - непонятно.

[Ssheh]

SpBTimes в сообщении #873675 писал(а):

Функция вообще не может расходиться. А остальное - непонятно.

$$\int\limits_0^a \frac{\ln x}{x^{\alpha}}dx \geqslant \int\limits_0^a \frac{1}{x^{\alpha}}dx $$

а:

$$\int\limits_0^a \frac{1}{x^{\alpha}}dx$$

Расходится
На самом деле эти рассуждения скорее для бесконечности, но для $a$ этот интеграл тоже расходится.

[Nemiroff]

Ssheh в сообщении #873679 писал(а):

а:

$$\int\limits_0^a \frac{1}{x^{\alpha}}dx$$

Расходится

Докажите.

[Ssheh]

$$\int\limits_0^a \frac{\ln(x)}{x}dx=(x=\frac{1}{t})= \int\limits_\frac{1}{a}^\infty \frac{\ln(\frac{1}{t})}{t}dt $$

и последний расходится

[SpBTimes]

Почему? И интеграл зависит от параметра вообще-то

[Nemiroff]

Какие-то случайные символы. Удивительно, что вы ещё знак интеграла всюду пишете.

$\int\limits_0^1 dx$ внезапно! сходится. А $\int\limits_0^1 \ln x dx$ сходится ещё более внезапно.