Объем фигуры, интеграл

[MestnyBomzh]

Требуется найти объем фигуры, образованной вращением фигуры, ограниченной $y=x(3-x), y=x$ вокруг $OY$
Верно ли я понимаю, что искомый интеграл выглядит так:

$$\int_{2}^{2.25} \sqrt{2.25-y}-1.5 dy - \int_{2}^{2.25} (-\sqrt{2.25-y}-1.5) dy + \int_{0}^{2} y dy - \int_{0}^{2} (-\sqrt{2.25-y}-1.5) dy$$

[Otta]

Это все чудесно, а где, собственно, вычисление объема?

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #873005 писал(а):

вокруг $OY$

Понятно, что Вы не имеете представления об объёме тела вращения. Однако даже при этом полезно помнить, что для функции $y(x)$ существуют две стандартные формулы -- одна для вращения вокруг горизонтальной оси, другая -- вокруг вертикальной. Тогда не придётся возиться с выражением иксов через игреки.

[MestnyBomzh]

Нашел формулу $V = 2 \pi \int_a^b x \cdot x(y) dx$. Я, кстати, там пи потерял.
Окей, тогда получается так: $2 \pi (\int_{0}^{3} x \cdot x(3-x) dx - \int_{0}^{2} x \cdot x dx - \int_{2}^{3} x \cdot x(3-x) dx) = 2 \pi (\frac{27}{4} + \frac{8}{3} + \frac{11}{4}) = 73 \pi$